Question

Determinar os valores possíveis de x: 3.sen²x + 2.RAIZ(3). senx.cosx +cos²x

Answer 1

Olá.

Dada a equação trigonométrica.

$3sen^{ 2 }x+2\sqrt { 3 } *senx*cosx+cos^{ 2 }x$

Agora divida todo mundo por cos²x

$\frac { 3sen^{ 2 }x+2\sqrt { 3 } *senx*cosx+cos^{ 2 }x=0 }{ cos^{ 2 }x }$

Com isso encontraremos:

$3tg^{ 2 }x+2\sqrt { 3 } tgx+1=0$

Podemos entender a tangente sendo:

$tgx=y$

Agora basta resolver:

$\Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \\ \Delta =(2\sqrt { 3 } )^{ 2 }-4*3*1\\ \\ \Delta =12-12\\ \\ \Delta =0$

Como o delta é igual a 0 nós temos 2 raízes reais e iguais.

$y^{ I }=y^{ II }$

$y=\frac { -b\pm \sqrt { \Delta } }{ 2a } \\ \\ y=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm 0 }{ 2(3) } \Rightarrow \frac { -2\sqrt { 3 } }{ 6 } \Rightarrow -\frac { \sqrt { 3 } }{ 3 }$

Voltando para a mudança de variável:

$tgx=y\\ tgx=-\frac { \sqrt { 3 } }{ 3 } \\ \\ tgx=150^{ o };330^{ o }$

A tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes.

Então temos como solução:

$S=\{ x\epsilon R/\quad x=\frac { 5\pi }{ 6 } +k\pi \quad ou\quad x=\frac { 11\pi }{ 6 }+k \pi \}$