Question

Determinar os valores de x para os quais a função do segundo grau f (x) = x2 -3x -10 assume valores positivos

Answer 1

✅ Após resolver a função do segundo grau - função quadrática - concluímos que o conjunto solução da questão é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{x\in\mathbb{R}\,|\,x < -2\: \textrm{ou}\:x > 5\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função do segundo grau:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 3x - 10\end{gathered}$

Que dá origem à seguinte equação:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 3x - 10 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

             $\Large\begin{cases} a = 1\\b = -3\\c = -10\end{cases}$

Calculando o valor do delta temos:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \Delta = b^{2} - 4ac\end{gathered}$  

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-3)^{2} - 4\cdot1\cdot(-10)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 9 + 40\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 49\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\Delta = 49\end{gathered}$

Calculando as raízes:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-(-3)\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{3\pm7}{2}\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

    $\LARGE\begin{cases} x' = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\\x'' = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da equação é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-2, \,5\}\end{gathered}$

✅ Como estamos querendo calcular os valores de x para os quais a função do segundo grau possua valores positivos então o conjunto solução final será:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{x\in\mathbb{R}\,|\,x < -2\:\textrm{ou}\:x > 5\}\end{gathered} }$

OBS: Observe que o que fizemos foi apenas restringir o conjunto domínio da função para que a mesma produza apenas valores positivos, isto é, o conjunto solução da referida questão é um subconjunto do Domínio da função.

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Veja a solução gráfica representada na figura: