Question

determinar os valores de a e b para que a função y=ax²+bx-5,tenha vértice v=(1/2 , -25/4)

Answer 1

Sabemos que:

$Vx = -\frac{b}{2a} \\ \\ Vy = - \frac{\Delta}{4a}$

Logo temos:

$Vx = -\frac{b}{2a} \\ \\ \frac{1}{2} = -\frac{b}{2a} \\ \\ 2a = -2b \\ \\ 2a + 2b= 0$

$Vy = - \frac{\Delta}{4a} \\ \\ -\frac{25}{4} = - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\ \\ -\frac{25}{4} = - \frac{b^2 - 4a*(-5)}{4a} \\ \\ -\frac{25}{4} = - \frac{b^2 +20a}{4a} \\ \\ \frac{25}{4} = \frac{b^2 +20a}{4a} \\ \\ 100a = 4b^2 + 80a \\ \\ 20a = 4b^2 \\ \\ a = \frac{b^2}{5}$

Substituindo:

$2a + 2b = 0 \\ \\ 2*( \frac{b^2}{5} ) + 2b = 0 \\ \\ 2b^2 + 10b = 0 \\ \\ b^2 + 5b = 0 \\ \\ b(b + 5) = 0 \\ \\ b' = 0 \\ b'' = -5$

Logo:

$a = \frac{b^2}{5} \\ \\ a' = 0 \\ a'' = 5$

Como temos a seguinte condição $a \neq 0$ para que seja uma função do 2° grau. Logo $a =5$ e $b = -5$, tendo como a função:

$y = 5x^2 - 5x - 5$