Question

Determinar os polígonos cuja razão do número de diagonais do menor para o maior é 1/2 e que a razão do número de lados do menor para o maior é de 3/4.

Answer 1

Vamos considerar que o polígono menor possui x lados e o polígono maior possui y lados. Assim, temos que:

x / y = 3 / 4
x = 3y / 4

Agora, vamos determinar os valores de D1 e D2 de diagonais dos polígonos.

D1 = x * (x - 3) / 2
D2 = y * (y - 3) / 2

Agora, vamos estabelecer a relação:

D1 / D2 = 1/2
(x * (x - 3) / 2) / (y * (y - 3) / 2) = 1/2
(x * (x - 3)) / (y * (y - 3)) = 1/2
2 * (x * (x - 3)) = y * (y - 3)
2x * (x - 3) = y * (y - 3)
2x² - 6x = y² - 3y

Vamos substituir o valot de "x = 3y / 4" na equação acima:

2x² - 6x = y² - 3y
2(3y / 4)² - 6 * (3y / 4) = y² - 3y
18y²/16 - 18y/4 = y² - 3y
9y²/8 - 36y/8 = y² - 3y
(9y² - 36y) / 8 = y² - 3y
9y² - 36y = 8 * (y² - 3y)
9y² - 36y = 8y² - 24y
9y² - 8y² - 36y + 24y = 0
y² - 12y = 0
y * (y - 12) = 0

y' = 0

y'' - 12 = 0
y'' = 12

Como não há pológino de 0 lados, temos que y = 12, logo, vamos determinar o valor de x.

x = 3y / 4
x = 3 * 12 / 4
x = 3 * 3
x = 9

Portanto, o polígono menor possui 9 lados e o polígono maior possui 12 lados.