Question

Determinar os numeros complexos Z1 e Z2, sabendo que:
Z1 - Z2 é real
Re(Z1 +Z2)=8
Z1.Z2=-1+32i

Uma coisa que esta me atrapalhando nesse exercicio é esse ''Re'' na segunda condição. Não sei muito bem o que fazer com ele, como ele influencia...

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Um número complexo é sempre da forma a + bi, onde "a" é a parte real e "bi" é a parte imaginária. Quando ele diz Re(algo), ele está fazendo referência só a parte real daqueles números complexos.

Seja:

$Z_1 = a + bi\\Z_2 = c + di$

Se $Z_1 - Z_2$ é um numero real, isso significa que suas partes imaginárias são iguais e consequentemente b = d. Vamos fazer a conta:

$Z_1 - Z_2 = a+ bi - (c+di) = a - c + bi - di$

Para ser real,

$bi - di = 0\\bi = di\\b = d$

Sabemos também que a parte real da soma desses dois números vale 8, vamos realizar a mesma conta:

$Z_1 + Z_2 = a+bi + c + di\\Re(Z_1 + Z_2) = a+c\\a + c = 8$

E por fim, temos que $Z_1.Z_2=-1+32i$. Como já sabemos que b = d, farei as contas usando só uma dessas letras.

$Z_1.Z_2 = (a+bi)(c+di) = (a+bi)(c+bi) = ac + abi +cbi -b^2$

Vou separar o que encontramos em parte real e imaginaria e igualar ao resultado dado no enunciado.

$ac + abi +cbi -b^2 = (ac - b^2) + (ab + cb)i$

$ac - b^2 = -1\\ab + cb = 32$

E assim temos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas:

$b = d\\a + c = 8\\ac - b^2 = -1\\ab + cb = 32$

Colocando b em evidência na ultima equação:

$b(a+c) =32$

Como sabemos que a+c = 8 da equação 2 do sistema, e sabemos que 32 = 4.8 encontramos b.

$b(8) =4.8\\b = 4$

E assim substituindo b na equação 3 do sistema temos:

$ac - (4)^2 = -1\\ac = -1 + 16\\ac = 15$

Temos duas opções de solução pra a e c:

a = 3 e c = 5 ou a = 5 e c = 3.

Por fim:

$Z_1 = 3 + 4i\\Z_2 = 5 + 4i$

ou

$Z_1 = 5 + 4i\\Z_2 = 3 + 4i$

Ambos satisfazem a condição do problema.

Answer 2

Resposta:

3+4i e 5+4i

Explicação passo-a-passo:

Em geral é mais fácil a abordagem da Luanafbh2. Faremos de outra forma aqui (que talvez seja mais simples em outros problemas)

Dizer que um número complexo é real, é o mesmo que dizer que sua parte imaginária é nula. Isso é equivalente ao número ser igual ao conjugado. Assim, pela primeira afirmação temos z₁ - z₂ é real. Para facilitar vamos escrever u = z₁ - z₂. Então o que temos é $u = \overline u$.

Na segunda afirmação temos  que a parte real de z₁ + z₂ é 8. Para facilitar vamos escrever v = z₁ + z₂. Dizer que a parte real de v é 8 é o mesmo que dizer $v + \overline v = 16$

Como estamos usando

u = z₁ - z₂

v = z₁ + z₂

Concluímos que a última equação é

$\dfrac{u + v}{2} \cdot \dfrac{v-u}{2} = -1 + 32i \implies u^2 - v^2 = 4 - 128 i$

Assim temos o sistema:  

$\begin{cases} u = \overline u \\ v + \overline v = 16 \\ u^2 - v^2 =4 - 128i \end{cases}$     ( I )

Assim, substituindo a primeira e segunda equação na terceira, obtemos:

$u \overline u - v (16 - \overline v) = 4 - 128 i \\[1.5ex]u \overline u + v \overline v - 16v = 4 - 128i$     ( II )

Tomando o conjugado dessa última equação temos

$\overline uu + \overline vv -16 \overline v = 4 + 128i$     ( III )

Subtraindo ( II ) de ( III ) concluímos que

$16 v - 16 \overline v = 128i + 128i = 0 \\[1.5ex]v - \overline v = 16 i$

Juntando isso com a segunda equação do sistema ( I ) concluímos que v=8+8i. Isso implica que v² = 128i. Portanto, segue que u² = 4. Portanto temos duas possibilidades:

1ª possibilidade: u = 2 e v = 8 + 8i

Com isso temos

z₁ - z₂ = 2

z₁ + z₂ = 8 + 8i

E portanto temos z₁ = 5 + 4i e z₂ = 3+ 4i

2ª possibilidade: u = -2 e v = 8 + 8i

Com isso temos

z₁ - z₂ = -2

z₁ + z₂ = 8 + 8i

E portanto temos z₁ = 3 + 4i e z₂ = 5+ 4i

Ou seja,  de qualquer forma os números são 3+4i e 5+4i