Question

Determinar os números complexos z, tais que

$\begin{array}{l}\mathsf{\dfrac{z}{1-i}+\dfrac{z-1}{1+z}=\dfrac{5}{2}+i\cdot \dfrac{5}{2}}\end{array}$

Answer 1

Vinicius,
Vamos passo a passo

Efetuando operações no lado esquerdo

             $\frac{z}{1-i}+ \frac{z-1}{1+i} \\ \\= \frac{z(1+i)+(1-i)(z-1)}{(1-i)(1+i)} \\ \\ = \frac{z+zi+z-1-zi+i}{1+1} \\ \\ = \frac{2z-1+i}{2} \\ \\ z=a+bi \\ \\ = \frac{2(a+bi)-1+i}{2} \\ \\ =\frac{2a+2bi-1+i}{2} \\ \\ = \frac{2a-1}{2}+ \frac{2bi+i}{2} \\ \\ = \frac{2a-1}{2}+ \frac{2b+1}{2} i$

Este resultado é igual ao lado direito

             $\frac{2a-1}{2} + \frac{2b+1}{2} i = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} i$

Se dois números complexos são iguais, suas partes real e imaginária são respectivamente iguais

              $\frac{2a-1}{2} = \frac{5}{2} \\ \\ 2a-1=5 \\ 2a=6$
                                  a = 3  

              $\frac{2b+1}{2} = \frac{5}{2} \\ \\ 2b+1=5 \\ 2b=4$
                                  b = 2

                                                       z = 3 + 2i  RESULTADO FINAL

Answer 2

Olá!

$\mathsf{\frac{z}{1 - i} + \frac{z - 1}{1 + i} = \frac{5}{2} + i \cdot \frac{5}{2}}$
 
$\mathsf{\frac{z \cdot (1 + i) + (z - 1) \cdot (1 - i)}{(1 - i) \cdot (1 + i)} = \frac{5}{2} \cdot \left ( 1 + i \right )}$
 
$\mathsf{\frac{z + z \cdot i + z - z \cdot i - 1 + i}{1 - i^2} = \frac{5}{2} \cdot (1 + i)}$
 
$\mathsf{\frac{2z - 1 + i}{1 + 1} = \frac{5}{2} \cdot (1 + i)}$

$\\ \mathsf{\frac{2z - 1 + i}{2} = \frac{5}{2} \cdot (1 + i)} \\\\ \mathsf{2z - 1 + i = 5 \cdot (1 + i)} \\\\ \mathsf{2z - 1 + i = 5 + 5i} \\\\ \mathsf{2z = 6 + 4i \qquad \qquad \div(2} \\\\ \boxed{\mathsf{z = 3 + 2i}}$