Question

Determinar os dois últimos dígitos do número
$9^{ {9}^{9} }$

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Answer 1

Resposta: 89.

Explicação passo a passo:

Determinar os dois últimos dígitos do número $9^{(9^9)}$ é equivalente a encontrar o resto da divisão deste número por 100.

Como mdc(9, 100) = 1, a equação

    $9^n\equiv 1\quad\mathrm{(mod~100)}$

possui solução para algum n natural.

Decompondo 100 em fatores primos, temos

    $100=2^2\cdot 5^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 100=4\cdot 25$

Vamos encontrar algumas congruências que serão utilizadas para a resolução desta tarefa.

    $9=2\cdot 4+1\\\\ \quad\Longrightarrow\quad 9\equiv 1\quad\mathrm{(mod~4)}\\\\ \Longrightarrow\quad 9^n\equiv 1\quad \mathrm{(mod~4)}\qquad\mathrm{(i)}$

para todo n natural.

Por outro lado,

    $9^3=729\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^3=29\cdot 25+4\\\\ \Longrightarrow\quad 9^3\equiv 4\quad\mathrm{(mod~25)}\\\\ \Longrightarrow\quad 9^4\equiv 4\cdot 9=36\equiv 11\quad\mathrm{(mod~25)}\\\\ \Longrightarrow\quad 9^5\equiv 11\cdot 9=99\equiv -1\quad\mathrm{(mod~25)}$

Elevando os dois lados da última congruência ao quadrado, obtemos

    $\Longrightarrow\quad (9^5)^2\equiv (-1)^2\quad\mathrm{(mod~25)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{10}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~25)}$

Elevando os dois lados a um número natural n qualquer, temos

    $\Longrightarrow\quad (9^{10})^n\equiv 1^n\quad\mathrm{(mod~25)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{10n}=1\quad \mathrm{(mod~25)}\qquad\mathrm{(ii)}$

De (i), segue que

    $\Longrightarrow\quad 9^{10n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~4)}\qquad\mathrm{(iii)}$

Como mdc(4, 25) = 1, por (ii) e (iii), segue que

    $\Longrightarrow\quad 9^{10n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~4\cdot 25)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{10n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod ~100)}\qquad\mathrm{(iv)}$

Então, vamos encontrar o resto da divisão do expoente $9^9$ por 10:

    $9^2=81=8\cdot 10+1\\\\ \Longrightarrow\quad 9^2\equiv 1\quad\mathrm{(mod~10)}$

Mas $9=2\cdot 4+1.$ Então, elevando os dois lados da congruência à quarta potência, temos

    $\Longrightarrow\quad (9^2)^4\equiv 1^4\quad\mathrm{(mod~10)}\\\\ \quad\Longleftrightarrow\quad 9^8\equiv 1\quad\mathrm{(mod~10)}$

Multiplicando os dois lados por 9, temos

    $\Longrightarrow\quad 9^8\cdot 9\equiv 1\cdot 9\quad\mathrm{(mod~10)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^9\equiv 9\quad \mathrm{(mod~10)}\qquad\mathrm{(v)}$

Logo, $9^9=10n+9$ para algum n natural. Da congruência (iv), segue que

    $\Longrightarrow\quad 9^{10n}\cdot 9^9\equiv 1\cdot 9^9\quad\mathrm{(mod~100)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{10n+9}\equiv 9^9\quad\mathrm{(mod~100)}\qquad\mathrm{(vi)}$

para todo n natural. Em particular, temos

    $\Longrightarrow\quad 9^{(9^9)}\equiv 9^9\quad\mathrm{(mod~100)}\qquad\mathrm{(vii)}$

Como mdc(9, 100) = 1, então o 9 possui classe inversa módulo 100, ou seja, a equação

    $9x\equiv 1\quad \mathrm{(mod~100)}$

possui solução inteira para a variável x. Vamos resolver por tentativa e erro, percebemos que

    $9\cdot 11=99\equiv (-1)\quad\mathrm{(mod~100)}\\\\ \Longrightarrow\quad 9\cdot (-11)\equiv 1\quad\mathrm{(mod~100)}$

Somando $9\cdot 100$ aos dois lados, temos

    $\Longrightarrow\quad 9\cdot (-11)+9\cdot 100\equiv 1+9\cdot 100\quad\mathrm{(mod~100)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9\cdot (-11+100)\equiv 901\equiv 1\quad\mathrm{(mod~100)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9\cdot 89\equiv 1\quad \mathrm{(mod~100)}$

Logo, o 89 é a classe inversa do 9, módulo 100. Multiplicando os dois lados da congruência acima por $9^9,$ temos

    $\Longrightarrow\quad 9^9\cdot (9\cdot 89)\equiv 9^9\cdot 1\quad\mathrm{(mod~100)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{10}\cdot 89\equiv 9^9\quad \mathrm{(mod~100)}\qquad\mathrm{(viii)}$

Da congruência (ii), multiplicando ambos os lados por 89, segue que

    $\Longrightarrow\quad 9^{10}\cdot 89\equiv 1\cdot 89\quad \mathrm{(mod~100)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9^{10}\cdot 89\equiv 89\quad\mathrm{(mod~100)}\qquad\mathrm{(ix)}$

Logo, por transitividade das congruências (vii), (viii) e (ix), temos

    $\Longrightarrow\quad 9^9\equiv 89\quad\mathrm{(mod~100)}\\\\ \Longrightarrow\quad 9^{(9^9)}\equiv 89\quad \mathrm{(mod~100)}$

Logo, os dois últimos dígitos são 89.

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