Question

Determinar os ângulos do triangulo de vértices A(2,1,3) B(1,0,-1) e C(-1,2,1).
Preciso de uma resposta bem detalhada

Answer 1

$cos(\theta)= \frac{|U.V|}{|U|*|V|} \\\\ \theta = \text{angulo entre os vetores U e V}\\ \\U , V = \text{vetores}$


aplicando isso pra resolver, vc vai ter que encontrar os lados usando os vértices e calcular o angulo entre esses lados usando a formula;


vertices do triangulo:
$\bmatrix A=(2,1,3)\\B=(1,0,-1)\\C=(-1,2,1)\end$

os lados do triangulo são dados pelos vetores AB, AC , BC

encontrando os lados:
$AB=B-A= (1,0,-1)-(2,1,3) = (-1,-1,-4)\\\\|AB|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-4)^2} = \sqrt{18} \\\\\\ AC=C-A=(-1,2,1) -(2,1,3) = (-3,1,-2)\\\\|AC|= \sqrt{(-3)^2+(1)^2+(-2)^2}= \sqrt{14} \\\\\\ BC=C-B = (-1,2,1)-(1,0,-1)= (-2,2,2) \\\\ |BC|= \sqrt{(-2)^2+(2)^2+(2)^2} = \sqrt{12}$


os angulos do triangulo  são os angulos entre os vetores (AB e AC) , (AB e BC ), (AC e  BC)

encontrando esses angulos:
angulo entre AB e AC

$cos(\theta) = \frac{|AB. AC|}{|AB|*|AC|} \\\\ cos(\theta)= \frac{|(-1,-1,-4).(-3,1,-2)|}{ \sqrt{18} * \sqrt{14} } \\\\\ cos(\theta)= \frac{|(-1*-3)+(-1*1)+(-4*-2)|}{ \sqrt{6*14} } \\\\\cos(\theta)= \frac{|3-1+8|}{ \sqrt{252} } \\\\cos(\theta)= \frac{|10|}{\sqrt{252}} \\\\\theta= arcos( \frac{10}{\sqrt{252} })\\\\ \theta \approx 50,95 ^\circ$

angulo entre AB e BC

$cos(\theta _1) = \frac{|AB. BC|}{|AB|*|BC|}\\\\ cos(\theta _1) = \frac{|(-1,-1,-4). (-2,2,2)|}{ \sqrt{18}* \sqrt{12} }\\\\ cos(\theta _1) = \frac{|-8|}{\sqrt{216}} \\\\\theta_1= arcos( \frac{8}{\sqrt{216}}) \approx 57,02$


angulo entre AC e BC
$cos(\theta _2) = \frac{|AC. BC|}{|AC|*|BC|}\\\\ cos(\theta _2) = \frac{4}{\sqrt{168} } \\\\ \theta_2= arcos( \frac{4}{\sqrt{168}}) \approx 72,02$