Question

Determinar o volume total de um espaçador para parafusos, representado a seguir, e estimar quanta matéria prima é desperdiçada na produção de cada peça, pois o volume de material utilizado é um valor proposto considerando as rebarbas da peça, V = 0,52 (u.v.).

Os limites superior e inferior da parede do espaçador são dados pelas funções aproximadas f (x) e g (x) respectivamente.

f(x) = -x2/4+x/5+3/4
g(x) = x2/2-x/10+1/2
a = -1/10
b = 2/5

Answer 1

Olá,

Primeiro precisamos entender que para calcular o volume total, basta fazer o cálculo de sólido em revolução da função que esta por cima no intervalo dado, logo basta calcular a integral de solido em revolução da função f(x). Vejamos:

$\pi \int\limits^ \frac{2}{5} _ \frac{-1}{10} {( -\frac{x^{2}}{4}+ \frac{x}{5} + \frac{3}{4})^{2 } } \, dx$

Resolvendo acharemos o valor de 0,92986.

Este será o volume total da peça.

Para calcular o valor desperdiçado, basta fazer a integral de solido em revolução da função que está em baixo, logo basta fazer a integral de solido em revolução da função g(x). Vejamos:

$\pi \int\limits^ \frac{2}{5} _ \frac{-1}{10} {( \frac{x^{2}}{2}- \frac{x}{10} + \frac{1}{2})^{2 } } \, dx$

Resolvendo acharemos o valor de: 0,40346.

Este será o valor do volume de matéria prima desperdiçada.

Note que que o real volume do sólido formado pelas duas funções será exatamente a substração das duas integrais de f(x) e g(x). 

Não precisava calcular a segunda integral, porém eu quis provar a afirmação acima.

Espero ter ajudado.