Question

Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y,da região R delimitada pelos gráficos da equação dada:

y= x³ e y= x²

Answer 1

Pontos de intersecção: x³=x²

x³-x²=0

x²(x-1)=0

x²=0

x=√0=0. →y=0

x-1=0

x=1 → y=1

(0,0)(1,1)

Se y=x² →x=√y. Se y=x³→x=∛y dai:

R=∛y

r=√y.

dv=π(R²-r²) dy

dv=π(∛y²-√y²) dy

dv=π(∛y²-y) dy.

v=∫₀¹dv= ∫₀¹π(∛y²-y) dy.

$v = (\frac{3}{5} {y}^{ \frac{5}{3} } - \frac{1}{2} {y}^{2}) dy$

Substituindo y por 1 temos:

$v = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10}$