Question

Determinar o volume de um cilindro equilátero em função de sua área total At.

Deixem a resolução bem detalhada por favor, se puder me explique essa parte do "em função"..

Obrigada :)

Answer 1

Para o cilindro ser equilátero, a sua altura (h) deve ser igual ao diâmetro da base (2R).
h = 2R
Assim,
Área lateral do cilindro:
Al = 2πRh
Al = 2.2πRR = 4πR²
Área total:
At = 2πRh + 2πR² 
At = 4πR² + 2πR² = 6πR²
Volume:
V = πR²h
V = 2πR²R = 2πR³
Como a questão pede o volume em função de At devemos achar uma expressão para relacionar as duas grandezas:
πR² = At 
           6
Substituindo este valor na expressão do volume:
V = RAt
         6

Answer 2

Em um cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base.
A área total de um cilindro é dada por; At=2πr(h+r) onde h é a altura e r o raio da base.
Como o cilindro é equilátero h=2r
At=2πr(2r+r) ⇒ At=2π3r² ⇒ At=6πr²
O volume do cilindro é V=πr²h ⇒ (como h=2r) V=2πr³
Determinar o volume de um cilindro equilátero em função de sua área total, quer dizer em outros termos, calcular o volume quando já se sabe qual é sua área total.
Como em qualquer cilindro equilátero, a única variável é o raio, como se observa nas expressões At=6πr² e V=2πr³, para obter o volume em função da área total é necessário obter o valor do raio na expressão da área total e depois colocar este valor na expressão do volume elevado a terceira potencia. Assim:
At=6πr²  ⇒r=√(At/6π)
colocando na expressão do volume,
V=2π(√(At/6π))³