Question

Determinar o vetor x tal que x .(1, 4, -3) = -7 e x x (4, -2, 1) = (3, 5, -2) me ajudemm

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

   Um vetor pode ser escrito como forma de coordenadas, por exemplo:

   Dado um vetor qualquer $u$, podemos escrevê-lo como sendo $u=(a,b,c)$. Isso significa dizer seu comprimento (módulo) e seu sentido. Veja a imagem.

$a$ : sua projeção no eixo X

$b$ : sua projeção no eixo Y

$c$ : sua projeção no eixo Z

   Além disso, também pode ser escrito assim,

$u=a.i+b.j+c.k$

   E, a partir daí, seu módulo será dado por: $|u|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

1. Na primeira parte da questão temos,

$x\:.\:(1,4,-3)=-7$

   Sendo x um vetor, estamos tratando aqui do produto escalar entre vetores, visto que o resultado foi um escalar (número). Então, seja u = (a,b,c).

$(a,b,c)\:.\:(1,4-3)=-7$  ⇔  $1.a+4.b-3.c=-7$  ∴  $a+4b-3c=-7$  (α)

2. Agora o produto vetorial:

   Este é um pouco mais difícil, estude a equação matricial do produto vetorial para um melhor desempenho no conteúdo apresentado.

$(a,b,c)x(1,4,-3)=(3,5,-2)$

$(-3b-4c,-(-3a-c),4a-b)=(3,5,-2)$

$(-3b-4c,3a+c,4a-b)=(3,5,-2)$

   Sendo os vetores iguais, é válido que:

$-3b-4c=3$

$3a+c=5$

$4a-b=-2$

   Resolva o sistema somando essas equações duas a duas e juntando com a equação (α):

$7a-b+c=3\\3a-3b-4c=8\\a+4b-3c=-7$  

Resposta:

a=34/185

b=(-378)/185

c=(-61)/185

Answer 2

Resposta:

x = (3,-1,2)

Explicação passo-a-passo:

Solução:

x . (1,4,-3) = -7

x ^ (4,-2,1) = (3,5,-2)

Supondo que x seja igual a a,b,c, temos:

x . (1,4,-3) = -7

(a,b,c) . (1,4,3) = -7   →  (1a,4b-3c) =-7

x ^ (4,-2,1) = (3,5,-2)

(a,b,c) ^ (4,-2,1) = (3,5,-2)

a b + 2c = 3  → b = 3 – 2c

b -a + 4c = 5 → a = 5 + 4c

c -2a - 4b = -2  

Substituindo a e b, temos:

a + 4b – 3c = -7

(-5+4c)+4(3-2c)-3c = -7

-5+4c+ 12 – 8c – 3c = -7

7 – 7c = -7

-7c = -7 – 7

c = 14/7

c = 2

a = -5 + 4c

a = -5 + 4(2)

a = -5 + 8

a = 3

b = 3 - 2c

b = 3 - 2(2)

b = 3 – 4

b = -1

Resposta: x = (3,-1,2)