Determinar o vetor v, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a = (2, -3, 1) e ao vetor b= (1, -2, 3) e que satisfaz a seguinte condição; v [ESCALAR] (i+2j-7k)=10
Soluções para a tarefa
O vetor v é v = (7, 5, 1).
Se o vetor v é ortogonal aos vetores a e b, então o produto escalar entre eles é nulo, logo, temos que sendo v o vetor de coordenadas (x, y, z):
v · a = 0
2x - 3y + z = 0
v · b = 0
x - 2y + 3z = 0
Sabemos também que o produto escalar entre v e i + 2j - 7k resulta em 10, logo:
x + 2y - 7z = 10
Temos então um sistema linear:
2x - 3y + z = 0
x - 2y + 3z = 0
x + 2y - 7z = 10
Pelo método de Gauss, fazemos a matriz aumentada:
2 -3 1 0
1 -2 3 0
1 2 -7 10
Fazemos as seguintes operações:
L2' = L1 - 2.L2
L3' = L1 - 2.L3
Temos então:
2 -3 1 0
0 1 -5 0
0 -7 15 -20
A última operação é L3' = 7.L2 + L3:
2 -3 1 0
0 1 -5 0
0 0 -20 -20
Temos então:
-20z = -20
z = 1
y - 5z = 0
y = 5
2x - 3y + z = 0
2x = -1 + 15
x = 7
O vetor v é:
v = 7i + 5j + k