Question

Determinar o vetor unitario U, paralelo ao plano xOz e ortogonal ao vetor v=(4, 5, -3).

Answer 1

Determinar o vetor unitário $\mathsf{\overset{\to}{u}=(a,\,b,\,c),}$ de modo que

     •  $\mathsf{\overset{\to}{u}}$ é paralelo ao plano xOz

     •  $\mathsf{\overset{\to}{u}}$ é ortogonal ao vetor $\mathsf{\overset{\to}{v}=(4,\,5,\,-3).}$


Se $\mathsf{\overset{\to}{u}}$ é parazelo ao plano xOz, então a componente y do vetor $\mathsf{\overset{\to}{u}}$ é nula, ou seja,

     $\mathsf{b=0\quad\Longleftrightarrow\quad \overset{\to}{u}=(a,\,0,\,c)}$


Dois vetores são ortogonais somente se o produto escalar entre eles é igual a zero. Logo,

     $\mathsf{\overset{\to}{u}\cdot \overset{\to}{v}=0}\\\\ \mathsf{(a,\,0,\,c)\cdot (4,\,5,\,-3)=0}\\\\ \mathsf{a\cdot 4+0\cdot 5+c\cdot (-3)=0}\\\\ \mathsf{4a-3c=0\qquad\quad (i)}$


Como o vetor $\mathsf{\overset{\to}{u}}$ também é unitário, devemos ter

     $\mathsf{\big\|\overset{\to}{u}\big\|=1}\\\\ \mathsf{\big\|\overset{\to}{u}\big\|^2=1^2}\\\\ \mathsf{\big\|(a,\,0,\,c)\big\|^2=1}\\\\ \mathsf{a^2+0^2+c^2=1}\\\\ \mathsf{a^2+c^2=1\qquad\quad (ii)}$


Agora, basta resolver o sistema formado pelas equações (i) e (ii):

     $\left\{ \begin{array}{ccrc} \mathsf{4a-3c}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0}&\qquad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{a^2+c^2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}&\qquad\mathsf{(ii)} \end{array} \right.$


Isole c na equação (i) e substitua na equação (ii):

     $\mathsf{3c=4a}\\\\ \mathsf{c=\dfrac{4a}{3}}\\\\\\\\ \mathsf{a^2+\left(\dfrac{4a}{3}\right)^{\!2}=1}\\\\\\ \mathsf{a^2+\dfrac{16a^2}{9}=1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{9a^2}{9}+\dfrac{16a^2}{9}=1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{25a^2}{9}=1}\\\\\\ \mathsf{25a^2=9}$

     $\mathsf{a^2=\dfrac{9}{25}}\\\\\\ \mathsf{a=\pm\,\sqrt{\dfrac{9}{25}}}\\\\\\ \mathsf{a=\pm\,\dfrac{3}{5}}\\\\\\ \mathsf{a=-\,\dfrac{3}{5}\quad\mathsf{ou}\quad a=\dfrac{3}{5}}$


     •  Para $\mathsf{a=-\,\dfrac{3}{5},}$ encontramos

        $\mathsf{c=\dfrac{4}{\diagup\!\!\!\! 3}\cdot \left(-\,\dfrac{\diagup\!\!\!\! 3}{5}\right)}$

        $\mathsf{c=-\,\dfrac{4}{5}}$        ✔


     •  Para $\mathsf{a=\dfrac{3}{5},}$ encontramos

        $\mathsf{c=\dfrac{4}{\diagup\!\!\!\! 3}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\! 3}{5}}$

        $\mathsf{c=\dfrac{4}{5}}$        ✔


Logo, os vetores possíveis para essa tarefa são

     $\mathsf{\overset{\to}{u}=\left(\dfrac{3}{5},\,0,\,\dfrac{4}{5}\right)\quad\mathsf{ou}\quad \overset{\to}{u}=\left(\!-\,\dfrac{3}{5},\,0,\,-\,\dfrac{4}{5}\right).}$


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