Question

Determinar o vetor u tal que lu 1= 2, o ângulo entre u e v = (1,-1, O) é 45° e u é
ortogonal a w = (1, 1, O).

Answer 1

Olá Boa tarde!

u = (x,y,z) 
Se u é ortogonal a w, o produto interno é zero. 

u . w = (x,y,z) . (1,1,0) 
0 = x . 1 +y .1+ 0.1 
0 = x+y 
x+y = 0 

A questão diz que o ângulo entre u e v é 45º ( o cosseno é raiz de 2/2 ), usando a regra do produto interno temos que : 

u . v = |u| . |v| .cosseno de 45º 

Para calcular o módulo de v. 
usamos que |v| = raiz quadrada de 1² + (-1²) + 0² 
= raiz de 1+1 = raiz de 2 

voltando a fórmula. 
u . v = |u| . |v| .cosseno de 45º 
(x,y,z) . (1,-1,0) = 2 . raiz de 2. raiz de 2/2 
x-y = 2 

usando um sistema simples com os dois resultados obtidos: 

x+y = 0 
x-y = 2 

2x=2 
x= 2/2 
x= 1 <------------- 

x+y = 0 
1+y = 0 
y = -1 <-------------- 

Para obtermos o valor de z usaremos a regra do módulo de u. 

|u| = raiz quadrada de x² + y² + Z² 
|u| = raiz quadrada de 1² + (-1²) + Z² 
2 = raiz quadrada de 1 + 1 + Z² 

elevando tudo ao quadrado para se retirar a raiz. 

(2)² = (raiz quadrada de 1 + 1 + Z² )² 
4 = 1 + 1 + Z² 
Z² = 4 - 2 
Z² = 2 
Z = mais ou menos raiz de 2 


logo u = (1,-1, raiz de 2) 
ou u = (1,-1, menos raiz de 2)