Question

Determinar o vetor u, ortogonal ao eixo Ox tal que u · v = 8 e u · w = −3, sendo que v = (3, 1,−2) e w = (−1, 1, 1).

Answer 1

Por propriedades de produto interno e resolução de sistemas lineares obtemos $u=(0, \frac{41}{11},\frac{8}{11}$

Dados do problema:

• $u$ é perpendicular a $Ox$
• $u\dot v=8$ com $v=(3,1,-2)$
• $u\dot w=-3$ com $w=(-1,1,1)$

Seja o vetor $u$ dado por $u=(x, y, z)$

Como $u$ é perpendicular ao eixo $Ox$ temos que $u\dot Ox=0$

Isto só é possível se a componente $x$ do vetor u for igual a zero.

Temos agora que o produto $u\dot v= 0x+1y-2z=8$ resulta na equação $y-2z=8$

e o produto $u\dot w= 0x+1y+1z=-3$ resulta na equação $y+z=-3$

Temos então um sistema linear com duas equações e duas incógnitas a serem determinadas.

$\begin{Bmatrix}</p><p>y&-2z&=&8\\ y&+z&=&-3 \end{matrix}$

Multiplicando a segunda linha por $- 1$ para eliminar a variável y, teremos:

$\begin{Bmatrix}</p><p>y&-2z&=&8\\-y&-z&=&+3 \end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}y&-2z&=&8\\0&-3z&=&11 \end{matrix}$

Temos assim que $z=\frac{8}{11}$

Substituindo este resultado na equação $y+z=-3$ obtemos o valor de $y=-\frac{41}{11}$

$y+z=-3\\y=-z-3\\y=-\frac{8}{11}-3\\y=-\frac{41}{11}$

Estas são as coordenadas do vetor u.

$u=(0, \frac{41}{11},\frac{8}{11}$