Question

Determinar o vetor projeção do vetor u=(1,2,-3) na direção de v=(2,1,-2) ?

Answer 1

$\vec{u}=\left(1,2,-3\right)\\ \\ \vec{v}=\left(2,1,-2\right)\\ \\ Proj_{\vec{v}}\vec{u}=\dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^{2}}\cdot \vec{v}\\ \\ \\ \vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot 2\ +2\cdot 1\ +\left(-3\right)\cdot \left(-2\right)=2+2+6=10\\ \\ \\ |\vec{v}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+\left(-2\right)^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3\\ \\ |\vec{v}|^{2}=3^{2}=9\\ \\ \\ Proj_{\vec{v}}\vec{u}=\dfrac{10}{9}\cdot \left(2,1,-2\right)=\left(\dfrac{20}{9},\ \dfrac{10}{9},\ -\dfrac{20}{9}\right)$

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a projeção do vetor "u" na direção do vetor "v" é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}proj_{\vec{v}}\:\vec{u} = \Bigg(\frac{20}{9}, \frac{10}{9}, -\frac{20}{9} \Bigg) \end{gathered} }$

Sejam os vetores:

      $\Large\begin{cases}\vec{u} = (1, 2, -3)\\\vec{v} = (2, 1, -2) \end{cases}$

A projeção do vetor "u" na direção do vetor "v" pode ser calculada pela seguinte fórmula:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}proj_{\vec{v}}\:\vec{u} = \Bigg(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}} \Bigg)\cdot\vec{v} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg[\frac{1\cdot2 + 2\cdot1+(-3)\cdot(-2)}{(\sqrt{2^{2} + 1^{2} + (-2)^{2}})^{2}} \Bigg]\cdot(2, 1, -2) \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \Bigg[\frac{2 + 2 + 6}{4 + 1 + 4} \Bigg]\cdot(2, 1, -2) \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{10}{9}(2, 1, -2) \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \Bigg(\frac{10\cdot2}{9}, \frac{10\cdot1}{9}, \frac{10\cdot(-2)}{9} \Bigg) \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \Bigg(\frac{20}{9}, \frac{10}{9}, -\frac{20}{9} \Bigg) \end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor procurado é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}proj_{\vec{v}}\:\vec{u} = \Bigg(\frac{20}{9}, \frac{10}{9}, -\frac{20}{9} \Bigg) \end{gathered} }$

Saiba mais:

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Solução gráfica: