Question

Determinar o valor do limite

Answer 1

Dado o limite

$\large\begin{array}{l}\sf \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-cos(x)}{x}\end{array}$

, o objetivo aqui é manipular algebricamente a expressão [1 – cos(x)]/x no interior deste limite, de modo a transformá-la numa outra equivalente, e que possibilite encontrar o seu valor. Com base nisto, é verdade que

$\sf\ \ \,\:\! \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-cos(x)}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to0}\bigg[\dfrac{1-cos(x)}{x}\cdot 1\bigg]\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\bigg[\dfrac{1-cos(x)}{x}\cdot\dfrac{1+cos(x)}{1+cos(x)}\bigg]\\\\\\ =\lim_{x\to0}\dfrac{\big[1-cos(x)\big]\!\!\:\!\big[1+cos(x)\big]}{x\big[1+cos(x)\big]}$

Substituindo k por cos(x) na identidade algébrica (1 – k)(1 + k) = 1 – k², e recordando que sen²(x) + cos²(x) = 1, segue que [1 – cos(x)][1 + cos(x)] = 1 – cos²(x) = sen²(x). Sendo assim, o limite acima torna-se

$\sf =\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{sen^2(x)}{x\big[1+cos(x)\big]}\\\\\\ =\lim_{x\to0}\dfrac{sen(x)\cdot sen(x)}{x\big[1+cos(x)\big]}\\\\\\ =\lim_{x\to0}\bigg[\dfrac{sen(x)}{x} \cdot \dfrac{sen(x)}{1+cos(x)}\bigg]\qquad(\:I\:)$

Vejamos agora que os dois limites

$\begin{cases}\sf \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{sen(x)}{x}\qquad(\:II\:)\\\\\ \sf \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{sen(x)}{1+cos(x)}\qquad(\:III\:)\end{cases}$

existem, isso porque ( II ) é o famoso limite trigonométrico fundamental (aquele cujo valor é igual à unidade) e ( III ) é um daqueles facilmente solucionados por substituição direta. Dessarte, seguem os respectivos valores dos limites ( II ) e ( III ):

$\begin{cases}\sf \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{sen(x)}{x}=1\\\\\\ \sf\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{sen(x)}{1+cos(x)}=\dfrac{sen(0)}{1+cos(0)}=\dfrac{0}{1+1}=0\end{cases}$

Devido à existência de cada um destes dois limites, o limite ( I ) pode ser reescrito como o produto de ( II ) por ( III ), ou seja:

$\sf \displaystyle\lim_{x\to0}\bigg[\dfrac{sen(x)}{x}\cdot \dfrac{sen(x)}{1+cos(x)}\bigg]=\underbrace{\sf \lim_{x\to0}\dfrac{sen(x)}{x}}_{1}\cdot\underbrace{\sf \lim_{x\to0}\dfrac{sen(x)}{1+cos(x)}}_{0}=1\cdot 0=0\ \ \ \checkmark$

Resposta:

$\large\boxed{\sf \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-cos(x)}{x}=0}$

Answer 2

Resposta:

OLÁ

VAMOS A SUA PERGUNTA:⇒⇒

$\sf \lim_{x \to 0} \dfrac{1-cos(x)}{x}$

• APLICA A REGRA DE L'HOSPITAL<<<

$\sf \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{sin(x)}{1}\right)$

$\sf \lim_{x \to 0} \left(sin(x)\right)$

$\sf =sin(0)$

$\boxed{\bold{\displaystyle{\clubsuit\ \spadesuit\ \maltese\ \sf \green{=0}}}}\ \checkmark$← RESPOSTA.

Explicação passo-a-passo:

ESPERO TER AJUDADO