Question

Determinar o valor de x para que o vetor v=(x , -1/3 , 1/2) seja unitário.

Answer 1

Olá

Se um vetor é unitário, então o seu módulo vale 1.
Para resolver esse exercício, temos que calcular o módulo do vetor 'v' e igualar a 1, com isso encontraremos o valor do 'x' para que o módulo de 'v' seja igual a 1.

$\vec{v}=(x,- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} )$

Calculando o módulo do vetor 'v' e igualando a 1

$|\vec{v}|=\mathsf{\sqrt{(x)^2+(- \frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{2})^2}~=~1 }\\\\\\\mathsf{\sqrt{x^2+\frac{1}{9} + \frac{1}{4}}~= ~1 }\\\\\\\mathsf{\sqrt{ x^2+\frac{13}{36}}~=~1 }\\\\\\\text{Eleva os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz}\\\\\\\mathsf{\left(\sqrt{ x^2+\frac{13}{36}}\right)^2~=~(1)^2 }\\\\\\\mathsf{x^2+ \frac{13}{36}~=~1 }\\\\\\\mathsf{x^2=1- \frac{13}{36} }\\\\\\\mathsf{x^2= \frac{23}{36} }\\\\\\\boxed{\mathsf{x=\pm \sqrt{ \frac{23}{36} } }}\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Resposta}$


PROVA

Vamos calcular o módulo de 'v' novamente, mas dessa vez vamos substituir 'x' pelo valor que encontramos. O resultado terá de ser 1.

$\displaystyle |\vec{v}|=\mathsf{ \sqrt{ \left(\sqrt{ \frac{23}{36} \right)^2+\left(- \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{1}{2} \right)^2 } }}\\\\\\\\|\vec{v}|=\mathsf{ \sqrt{ \frac{23}{36} + \frac{1}{9} +\frac{1}{4} } }}\\\\\\|\vec{v}|=\mathsf{ \sqrt{ \frac{828+144+324}{1296} } }\\\\\\|\vec{v}|\mathsf{= \sqrt{ \frac{1296}{1296} } }\\\\\\|\vec{v}|\mathsf{= \sqrt{ 1 } }\\\\\\\boxed{|\vec{v}|\mathsf{= 1}}\qquad\checkmark$