Question

Determinar o valor de x na sentença 4x + 16x + ... + 4.096x = 10.920 sabendo que os termos do primeiro membro formam uma PG.

Answer 1

4x+16×+( -35) +4.096 =10.920

Answer 2

4x + 16x + ... + 4.096x = 10.920

- Como se percebe, essa PG termina em 4.096, então ela pode ser escrita dessa forma:

(4x, 16x, ... , 4.096x)

A razão dessa PG é 16x/4x = 4

Ou seja, a cada termo é multiplicado "4" do anterior.

4x . 4 = 16x

16x. 4 = 64x

64x. 4 = 216x

...

O último termo ocupa a posição n, calcularemos:

$An= A1.q^{n-1}$

$4096x = 4x.4^{n-1}$

$1024 =4^{n-1}$

$1024 = \frac{4^n}{4} => 4096 = 4^n => 2^{2n} = 4096 => 2^n = \sqrt{4096} => 2^n=64 \\\\\boxed{n=6}$

A soma de n termos de uma PG finita é:

$Sn =\frac {a_1.(q^n-1)}{(q-1)}$

$Sn =\frac{4x.(4^6-1)}{4-1} = \frac{4x.(4^6-1)}{3}$

$Sn =\frac{4x.(4096-1)}{3} = 5.460x$

A soma dos termos dessa PG finita será 5.460x

Assim, 5.460x = 10.920

x= 2

S = {2}