Question

Determinar o valor de m para que o vetor w~ = (1, 2, m) seja simultaneamnete ortogonal aos vetores ~v1 = (2, −1, 0) e ~v2 = (1, −3, −1).

Answer 1

(1, 2, m)  * (2, −1, 0)  =2-2 =0  é ortogonal para qualquer valo de m

(1,2,m) * (1, −3, −1)  =1-6-m=0 ==>m=1-6 =- 5

Resposta: para ser ortogonal simultaneamente , m=-5

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "m" que torna o vetor "w" simultaneamente ortogonal aos vetores "v1" e "v2" é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = -5\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores dados:

           $\Large\begin{cases}\vec{v_{1}} = (2, -1, 0)\\\vec{v_{2}} = (1, -3, -1)\\\vec{w} = (1, 2, m) \end{cases}$

Sabendo que para se obter um vetor simultaneamente ortogonal a outros dois vetores, devemos calcular o produto vetorial entre esses dois vetores. Então temos:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{w} = \vec{v_{1}}\wedge\vec{v_{2}} \end{gathered} }$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}(1, 2, m) = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\2 & -1 & 0\\1 & -3 & -1 \end{vmatrix}\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}(1, 2, m) = \begin{vmatrix}-1 & 0\\-3 & -1 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}2 & 0\\1 & -1 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}2 & -1\\1 & -3 \end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}(1, 2, m) = (1 + 0)\vec{i} - (-2 - 0)\vec{j} + (-6 + 1)\vec{k}\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}(1, 2, m) = \vec{i} + 2\vec{j} -5\vec{k} \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}(1, 2, m) = (1, 2, -5) \end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro procurado é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}m = -5 \end{gathered}$

✅ Desse modo, o vetor "w" é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{w} = (1, 2, -5) \end{gathered}$

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Solução gráfica: