Question

Determinar o valor de m, de tal forma que A(-3,7), B(m,n) e C(3,-2), sejam vértices de um triângulo.

Answer 1

Para que tres pontos no plano possam formar um triangulo, basta que estes pontos não sejam colineares, ou seja, não podem estar alinhados.

Para que tres pontos não sejam colineares, o determinante da matriz 3x3 formada por eles deverá ser diferente de 0, logo:

$\left|\begin{array}{ccc}x_{_A}&y_{_A}&1\\x_{_B}&y_{_B}&1\\x_{_C}&y_{_C}&1\end{array}\right|~\ne~0\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}-3&7&1\\m&n&1\\3&-2&1\end{array}\right|~\ne~0\\\\\\\left(~(-3).n.1+m.(-2).1+3.7.1~\right)~-~\left(~1.n.3+1.(-2).(-3)+1.7.m~\right)~\ne~0\\\\\\\left(~-3n-2m+21~\right)~-~\left(~3n+6+7m~\right)~\ne~0\\\\\\-3n-2m+21-3n-6-7m~\ne~0\\\\\\-9m-6n+15~\ne~0$

$3m+2n-5~\ne~0\\\\\\3m~\ne~5-2n\\\\\\\boxed{m~\ne~\dfrac{5-2n}{3}}$