Question

Determinar o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores u = (2.1) e v = (1,a).

Answer 1

u.v = |u|.|v|. cosθ

u.v = (2,1).(1,a) = (2.1 + 1.a) = 2 + a
|u| = √(2²+1²) = √5
|v| = √(1²+a²) = √(1+a²)
θ = 45°= (√2)/2

2 + a = √5.√(1+a²). (√2)/2
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
(2 + a)² = [√5.√(1+a²). (√2)/2]²
4 + 4a + a² = [5(1+a²)2]/4
4 + 4a + a² = 10(1+a²)/4
4(4 + 4a + a²) = 10 + 10a²
16 + 16a + 4a² = 10 + 10a²
16 - 10 + 16a + 4a² - 10a² = 0
6 + 16a - 6a² = 0
6a² - 16a - 6 = 0
(6a² - 16a - 6)/2 = 0/2
3a² - 8a - 3 = 0

Para calcular os valores de a, basta resolver a equação de 2° grau:

3a² - 8a - 3 = 0
Δ = (-8)² - 4.3.(-3)
Δ = 64 + 36
Δ = 100

a' = [-(-8)+√100]/6 = (8 + 10)/6 = 18/6 = 3
a'' = [-(-8)-√100]/6 = (8 - 10)/6 = -2/6 = -1/3

Assim, para a = 3 ou a = -1/3, o ângulo entre os vetores u e v é de 45°.

Answer 2

Resposta: (a = 3 ou a = -1/3)

Explicação passo a passo: