Question

Determinar o termo geral do desenvolvimento do binômio
$(x {}^{2} - \frac{1}{x {}^{2} }) {}^{4}$
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Answer 1

Resposta:   $t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot (-1)^k\cdot x^{8-4k}$

com $k\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,4\}.$

Explicação passo a passo:

Dada a potência de um binômio

     $(a+b)^n$

com $n\in\mathbb{N},$ seu desenvolvimento terá $n+1$ termos, e o termo da posição $k+1$ é dado por

     $t_{k+1}=\dbinom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$

com $k\in\{0,\,1,\,\cdots,\,n\},$ sendo

     $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

o coeficiente binomial.

─────

Para esta tarefa, queremos o termo geral do desenvolvimento de

     $\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^{\! 4}\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}a=x^2\\\\ b=-\,\dfrac{1}{x^2}=-\,x^{-2}\\\\ n=4 \end{array}\right.$

Portanto, a fórmula do termo geral do desenvolvimento é

     $t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot (x^2)^{4-k}\cdot (-\,x^{-2})^k\\\\ \Longleftrightarrow\quad t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot (x^2)^{4-k}\cdot (x^{-2})^k\cdot (-1)^k\\\\ \Longleftrightarrow\quad t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot x^{2\cdot (4-k)}\cdot x^{-2k}\cdot (-1)^k\\\\ \Longleftrightarrow\quad t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot x^{8-2k}\cdot x^{-2k}\cdot (-1)^k$

Simplifique o produto das potências de mesma base:

     $\Longleftrightarrow\quad t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot x^{(8-2k)+(-2k)}\cdot (-1)^k\\\\ \Longleftrightarrow\quad t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot x^{8-2k-2k}\cdot (-1)^k\\\\ \Longleftrightarrow\quad t_{k+1}=\dbinom{4}{k}\cdot x^{8-4k}\cdot (-1)^k\qquad\checkmark$

com $k\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,4\}.$

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