Question

Determinar o primeiro termo e o número de termos de uma PA, de números positivos de razão igual a 2 com o último termo igual a 26 e a soma dos termos igual a 180. ( resposta com conta montada)​

Answer 1

Resposta:

r=2

an=26

an=a1+(n-1)

Sn=26

Sn=(a1+an)*n/2=180

(a1+an)*n=360 ==> (a1+26)*n=360  (i)

an=a1+(n-1)*r

26=a1+(n-1)*2 ==>26=a1+2n-2 ==> a1=28-2n (ii)

(ii)  em (i)

(28-2n+26)*n=360

54n -2n²=360

2n²-54n+360=0

n'=12   e n''=15

a1=28-2*12=4

a1=28-2*15=-2 < 0 ~, os termos são positivos

n=12   e a1=4

Answer 2

Vamos começar escrevendo a1 em termos conhecidos, utilizando a equação do termo geral:

$a_n=a_1+(n-1).r\\\\26=a_1+(n-1).2\\\\a_1=26-2n+2\\\\\boxed{a_1=28-2n}$

Agora podemos utilizar a equação da soma de termos:

$S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}\\\\\\180=\frac{((28-2n)+26).n}{2}\\\\\\180~.~2=(54-2n).n\\\\\\360=54n-2n^2\\\\\\2n^2-54n+360=0\\\\\\n^2-27n+180=0\\\\Bhaskara\\\\\Delta=(-27)^2-4.1.180~=~\boxed{9}\\\\\\n'=\frac{27+\sqrt{9}}{2~.~1}=\frac{27+3}{2}=15\\\\n''=\frac{27-\sqrt{9}}{2~.~1}=\frac{27-3}{2}=12$

Temos então duas possibilidades: a PA tem 12 ou 15 termos.

Para saber qual é a certa, vamos atentar para outra informação do enunciado: "uma PA, de números positivos".

Se utilizarmos n = 15, teremos a1 negativo, acompanhe:

$a_1=28-2n~=~28-2~.~15~=~\boxed{-2}$

Concluímos que n, o numero de termos, deve valer 12.

Com isso, temos que a1 vale:

$a_1=28-2n\\\\a_1=28-2~.~12\\\\\boxed{a_1=4}$

Resposta: 12 termos com a1 valendo 4.