Question

determinar o primeiro e o numero de termos de uma PA em que a razao é 2 o ultimo termo igual a 26 e a soma igual a 180

Answer 1

AE mano,

temos que..

$\begin{cases}a_n=26\\r=2\\\text{S}_n=180\\a_1=?\\n=?\end{cases}$

Então fazemos assim com a fórmula do termo geral..

$a_n=a_1+(n-1)r\\ a_1+(n-1)\cdot2=26\\ a_1+2n-2=26\\ a_1=26+2-2n\\\\ a_1=28-2n$

E assim, com a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A...

$\text{S}_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\ lembre-se:~a_1=28-2n\\\\ \dfrac{(28-2n+26)\cdot n}{2}=180\\\\ (14-n+13)\cdot n=180\\ (-n+27)\cdot n=180\\ -n^2+27n=180\\ n^2-27n+180=0~~(eq.~do~2^o~grau)\\\\ \Delta=(-27)^2-4\cdot1\cdot180\\ \Delta=729-720\\ \Delta=9$

$n= \dfrac{-(-27)\pm \sqrt{9} }{2\cdot1} = \dfrac{27\pm3}{2}\begin{cases}~~\Large\boxed{n'=12}\\\\~~\Large\boxed{n''=15}\end{cases}$

Vemos que temos dois valores para o número de termos desta P.A., então, possuímos dois valores para o primeiro termo..

quando n=12, o primeiro termo vale..

$a_1=28-2n\\ a_1=28-2\cdot12\\ a_1=28-24\\\\ \Large\boxed{a_1=4}$ 


quando n=15, o primeiro termo vale..

$\dfrac{(a_1+26)\cdot15}{2}=180\\\\ 15a_1+390=180\cdot2\\ 15a_1+390=360\\ 15a_1=360-390\\ 15a_1=-30\\\\ a_1= \dfrac{-30}{~15}\\\\ \Large\boxed{a_1=-2}$


Tenha ótimos estudos ;D