Question

determinar o primeiro e o número de termos de uma P.A de números positivos de razão igual a 2 , com o último termo igual a 26 e a soma dos termos igual a 180 ?

Answer 1

Podemos pensar na seguinte resolução.

PA={A1,A2,A3,A4,...,An}
r=2
Onde A representa o algarismo, N representa a posição dele na PA e r é a razão da PA.

Pensando em outra maneira de escrever, podemos também dizer que:
A1=x+(1-1)*2
A2=x+(2-1)*2
A3=x+(3-1)*2
An=x+(n-1)*2

Têm-se uma PA de N algarismos positivos e sabe-se que o último termo é 26 e a soma de todos os termos é 180.
180=An+A(n-1)+A(n-2)+...
180=26+24+22+20+18+16+14+12+10+8+6+4
A1=4
An=x+(n-1)*2
26=4+(n-1)*2
22=(n-1)*2
(n-1)=11
n=12

Answer 2

r =2
an = 26
Sn = 180
a1 = ?
n = ?

Sn = (a1 + an).n
              2

180 = (a1 + 26).n
               2
180.2 = (a1 + 26).n
360 = (a1 + 26).n
360 = a1.n + 26n

an = a1 + (n - 1).r
26 = a1 + (n - 1).2
26 = a1 + 2n - 2
26 + 2 = a1 + 2n
28 = a1 + 2n
28 - 2n = a1

a1 = 28 - 2n

360 = ( a1 + 26).n
360 = (28 - 2n + 26).n
360 = (54 - 2n).n
360 = 54n - 2n²

2n² - 54n + 360 = 0

a = 2, b = - 54; c = 360

Δ = b² - 4ac
Δ = (-54)² - 4.2.360
Δ = 2916 - 2880
Δ = 36

n = - b +/- √Δ
          2a

n = - (-54) + √36 = 54 + 6 = 60/4 = 15
          2.2                4

n = - (-54) - √36 = 54 - 6 = 12
          2.2                4

n = 15 ou n = 12

a1  = 28 - 2n
a1 = 28 - 2.15
a1 = 28 - 30 = - 2

(razão de números positivos) Então está resposta está fora!

a1 = 28 - 2n
a1 = 28 - 2.12 = 28 - 24 = 4

a1 = 4, n = 12

Sn = (a1 + an).n
           2

180 = (4 + 26).12
             2

180 = 30. 12 = 30. 6 = 180
           2

Resp.: a1 = 4 (1º termo) e n = 12 (número de termos)

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Para a1 = - 2, n = 15 (mas não serve, porque a PA é de nº positivo)

180 = (- 2 + 26).15
                2