determinar o octogésimo setimo termo pa (43,48,...)
Soluções para a tarefa
R = A2 - A1
R = 48 - 43
R = 5
An = A1 + (N - 1)*R
A80 = 43 + (80 - 1)*5
A80 = 43 + 79*5
A80 = 43 + 395
A80 = 438
Resposta : A80 = 438
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (43, 48,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades (por exemplo, 48=43+5). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 43 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);
d)octogésimo sétimo termo (a₈₇): ?
e)número de termos (n): 87
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 87ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do octogésimo sétimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o segundo termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 48 - 43 ⇒
r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o octogésimo sétimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₈₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₈₇ = 43 + (87 - 1) . (5) ⇒
a₈₇ = 43 + (86) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₈₇ = 43 + 430 ⇒
a₈₇ = 473
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
RESPOSTA: O octogésimo sétimo termo da P.A. (43, 48, ...) é 473.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₈₇ = 473 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o octogésimo sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₈₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
473 = a₁ + (87 - 1) . (5) ⇒
473 = a₁ + (86) . (5) ⇒
473 = a₁ + 430 ⇒
473 - 430 = a₁ ⇒
43 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 43 (Provado que a₇ = -11.)
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