Question

Determinar o nonagésimo nono termo da P.A.(8,13,18,...)

Answer 1

Resposta:

a99=498

Explicação passo-a-passo:

r=a2-a1

r=13-8

r=5

an=a1+(n-1).r

a99=8+(99-1).5

a99=8+98.(5)

a99=8+490

a99=498

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (8, 13, 18, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 8

b)nonagésimo nono termo (a₉₉): ?

c)número de termos (n): 99 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 99ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do nonagésimo nono termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 13 - 8 ⇒

r = 5

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o nonagésimo nono termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₉₉ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₉₉ = 8 + (99 - 1) . (5) ⇒

a₉₉ = 8 + (98) . (5) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₉₉ = 8 + 490 ⇒

a₉₉ = 498

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 99º termo da P.A.(8, 13, 18, ...) é 498.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₉₉ = 498 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o nonagésimo nono termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₉₉ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

498 = a₁ + (99 - 1) . (5) ⇒

498 = a₁ + (98) . (5) ⇒

498 = a₁ + 490 ⇒       (Passa-se 490 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

498 - 490 = a₁ ⇒  

8 = a₁ ⇔                     (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 8                          (Provado que a₉₉ = 498.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!