Question

determinar o módulo e o argumento? z= rais quadrada de 3+ i

Answer 1

Dado um número complexo $z$ na forma

$z=a+bi\,,~~~~\text{(com }a,\;b\in \mathbb{R}\text{)}$

temos que


$\bullet\;\;$ O módulo de $z$ é dado por

$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$


$\bullet\;\;$ O argumento de $z$ é o ângulo $\theta,$ que satisfaz as seguintes condições:

$\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l} \cos \theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{array} \right.&~~~~~~-\pi< \theta \leq \pi \end{array}$

(note que só faz sentido calcular o argumento de $z$ se $z \ne 0$ )

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Para esta questão temos

$z=\sqrt{3}+i~~\Rightarrow~~\left\{ \begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\b=1 \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ O módulo de $z$ é

$|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}\\ \\ |z|=\sqrt{3+1}\\ \\ |z|=\sqrt{4}\\ \\ |z|=2$


$\bullet\;\;$ Sendo $\theta$ o argumento de $z,$ devemos ter

$\left\{ \begin{array}{l} \cos \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.~~~\Rightarrow~~\theta=\dfrac{\pi}{6}$