Question

Determinar o menor valor de n, n ∈ Ν, para qual (√3+ i)ⁿ é:
a) real e positivo
b) real e negativo
c) imaginário puro

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) n = 0, pois todo número elevado a zero é igual a 1 (exceto 0⁰ que é indeterminado)

b)

Seja $\sf z=\sqrt{3}+i$

$\sf \rho=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}$

$\sf \rho=\sqrt{3+1}$

$\sf \rho=\sqrt{4}$

$\sf \rho=2$

Temos:

$\sf sen~\theta=\dfrac{b}{\rho}~\Rightarrow~sen~\theta=\dfrac{1}{2}$

$\sf cos~\theta=\dfrac{a}{\rho}~\Rightarrow~cos~\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Assim, $\sf \rho=\dfrac{\pi}{6}~rad$

$\sf z=\rho\cdot(cos~\theta+i\cdot sen~\theta)$

$\sf z=2\cdot\Big[cos~\Big(\dfrac{\pi}{6}\Big)+i\cdot sen~\Big(\dfrac{\pi}{6}\Big)\Big]$

Pela regra de Moivre:

$\sf z^n=2^n\cdot\Big[cos~\Big(\dfrac{n\cdot\pi}{6}\Big)+i\cdot sen~\Big(\dfrac{n\cdot\pi}{6}\Big)\Big]$

Para que seja real, sua parte imaginária deve ser igual a zero

$\sf sen~\Big(\dfrac{n\cdot\pi}{6}\Big)=0$

Além disso, a parte real deve ser negativa

Para $\sf sen~x=0$, temos as possibilidades:

• $\sf x=0~\Rightarrow~cos~0=1$ (não serve, pois queremos cosseno negativo)

• $\sf x=\pi~\Rightarrow~cos~\pi=-1$

Assim, devemos ter:

$\sf \dfrac{n\cdot\pi}{6}=\pi$

$\sf n\cdot\pi=6\pi$

$\sf n=\dfrac{6\pi}{\pi}$

$\sf \red{n=6}$

c)

$\sf z^n=2^n\cdot\Big[cos~\Big(\dfrac{n\cdot\pi}{6}\Big)+i\cdot sen~\Big(\dfrac{n\cdot\pi}{6}\Big)\Big]$

Para que seja imaginário puro, sua parte real deve ser igual a zero

$\sf cos~\Big(\dfrac{n\cdot\pi}{6}\Big)=0$

Lembre-se que $\sf cos~\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=0$

$\sf \dfrac{n\cdot\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$

$\sf 2n\cdot\pi=6\pi$

$\sf n=\dfrac{6\pi}{2\pi}$

$\sf \red{n=3}$