Question

determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa restos 6 e 13 respectivamente

Answer 1

Chamemos o número de k

k|8

6 q₁

k| 15

13 q₂

k=8q₁+6 l

k=15q₂+13 ll

mmc(8,15)=120

Multiplicando a equação l por 15 e a equação ll por 8 teremos

15k=120q₁+90

8k=120q₂+104

23k=120q₁+120q₂+194

23k=120q₁+120q₂+120+74

23k=120(q₁+q₂+1)

Fazendo q₁+q₂+1=q com q∈Z temos que

23k=120q+74

23 não divide o lado direito para todo valor de q.

74|23 120| 23

5. 3. 5. 5

Ou seja, 74 e 120 deixam resto 5 na divisão por 23. Tomando q=23t-1

Isto é, deixa resto -1. Teremos

120q deixando resto -5 que ao ser somado com o resto 5 de 74, se anulará. Portanto 120q, +74 será divisível por 23. Substituindo :

23k=120(23t-1)+74

23k= 2760t-120+74

23k=2760t-46 ÷(23)

k= 120t-2

Como ele quer o menor valor fazemos t=1 daí

k=120.1-2=120-2=118