Question

Determinar o limite de
$\lim_{x \to \+3} \frac{x-3}{sen\pi x }$

Answer 1

Resposta:

-1/π

Explicação passo-a-passo:

Primeiro lembramos que

$\displaystyle \lim_{ x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$

A ideia desse problema (e de muitos outros) é fazer o limite que queremos determinar ficar parecido com esse acima. Para isso é importante que o que está "dentro" do seno tenda a zero, e seja igual ao que esta "fora". Mais precisamente, queremos escrever como algo da forma

$\dfrac{\sin \spadesuit}{\spadesuit}$

E é necessário que $\spadesuit$ tenda a zero.

No caso desse problema, usamos que

sen (π - x) =  sen (x)  e também que

sen (π + x) = sen (x)

Logo, vale que sen (πx)  = sen (π-πx) =sen (3π-πx)

Observe que quando x tende a 3, 3π-πx tende a 0. Voltando ao limite temos:

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \,\dfrac{x-3}{\sin \pi x} = \lim_{ x \to 3}- \frac 1 \pi \cdot\dfrac{\pi(3- x)}{\sin(3\pi - \pi x)} = - \dfrac 1 \pi \lim_{x \to 3} \, \dfrac{3\pi-\pi x}{\sin(3\pi - \pi x)} = - \dfrac 1 \pi$

Obs.: você pode "ver" mais facilmente o último limite fazendo uma substituição. Por exemplo, se 3π-πx = y, segue que y tende a 0 quando x tende a 3. Portanto:

$\displaystyle \lim_{ x\to 3} \, \dfrac{3 \pi - \pi x}{\sin (3 \pi - \pi x)} = \lim_{y \to 0} \,\dfrac y{\sin y} = \lim_{y \to 0} \, \dfrac{1}{\frac{\sin y}{y}} = \dfrac{1}{\lim\limits_{y \to 0} \frac {\sin y}y} = 1$