Question

Determinar o extremo relativo, ponto de inflexão, informando o ponto de máximo e mínimo da função f (x)

ALGUÉM SABE FAZER ISSO? esse negocio e do capiroto, nao to conseguindo fazer :(
Cálculo por favor

Answer 1

Candidatos para mínimos/máximos em um intervalo fechado:

- Pontos críticos da função (pontos onde a derivada é 0 ou não existe);
- Extremos do intervalo

Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade da função muda (Derivada segunda troca de sinal)
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$f(x)=x^{3}-2x^{2}-4x+3\\f'(x)=3x^{2}-2\cdot2x^{2-1}-4+0\\f'(x)=3x^{2}-4x-4$

A derivada é uma função polinomial, então é contínua em todo x pertencente aos reais (logo, não há ponto(s) onde a derivada não existe).

Achando onde a derivada é nula (pontos críticos):

$f'(x)=0\\3x^{2}-4x-4=0$

Resolvendo essa equação, chegaremos em:

$x=-\dfrac{2}{3}~~~~ou~~~x=2$

Ambos pertencem aos intervalo [-3,3]

Agora, basta compararmos os valores de f dos pontos críticos com os extremos do intervalo, e ver o máximo e o mínimo dentre eles:

$f(-3)=(-3)^{3}-2(-3)^{2}-4(-3)+3\\f(-3)=-27-2(9)+12+3\\f(-3)=-12-18\\f(-3)=-30$
___

$f(-\frac{2}{3})=(-\frac{2}{3})^{3}-2(-\frac{2}{3})^{2}-4(-\frac{2}{3})+3\\\\f(-\frac{2}{3})=(-\frac{8}{27})-2(\frac{4}{9})+(\frac{8}{3})+3\\\\f(-\frac{2}{3})=(-\frac{8}{27})-(\frac{8}{9})+(\frac{8}{3})+3\\\\f(-\frac{2}{3})=(-\frac{8}{27})-(\frac{24}{27})+(\frac{72}{24})+(\frac{81}{27})\\\\f(-\frac{2}{3})=\frac{-8-24+72+81}{27}=\frac{121}{27}$
___

$f(2)=2^{3}-2(2)^{2}-4(2)+3\\f(2)=2^{3}-2^{3}-8+3\\f(2)=-5$

__

$f(3)=3^{3}-2(3)^{2}-4(3)+3\\f(3)=27-2(9)-12+3\\f(3)=18-18\\f(3)=0$

Comparando os valores, vemos que o mínimo relativo ocorre em x = -3 e o máximo relativo ocorre em x = -2/3
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Não entendi a parte do ponto mínimo e máximo.

Se estiver se referindo ao mínimo e máximo globais, essa função não possui nenhum mínimo e máximo, pois os limites abaixo vão para infinito:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(x^{3}-2x^{2}-4x+3)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^{3}(1-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}})=-\infty\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x^{3}-2x^{2}-4x+3)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^{3}(1-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}})=\infty$
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Achando o(s) ponto(s) de inflexão:

$f''(x)=[f'(x)]'\\f''(x)=2\cdot3x^{2-1}-1\cdot4x^{1-1}+0\\f''(x)=6x-4$

A raiz de f''(x) é x = 2/3

Como f'' é uma reta crescente, f''(x) > 0 se x > 2/3 e f'' < 0 se x < 2/3, portanto o ponto de coordenada x = 2/3 é o único ponto de inflexão da função