determinar o décimo segundo termo de uma PA sabendo que a soma dos seus 48 primeiros termos é igual a 1008 e q sua razão é r=2
Soluções para a tarefa
(a1+ a48).48/2= 1008
(a1+ a1+47.r).24 = 1008
(2a1 +47.2).24 = 1008
(2a1 +94).24 = 1008
2a1+94 = 1008/24
2a1+94 = 42
2a1 = 42 -94
2a1 = -52
a1 = -26
a12 = a1 +(11)r = -26 +(11).2= -26+22= -4 ✓
Vamos lá.
Veja, Beatriz, que a resolução parece simples. Só é apenas um pouquinho trabalhosa pelo fato de as nossas respostas serem sempre dadas de forma bem passo a passo.
i) Pede-se para determinar o 12º termo (a₁₂) de uma PA, sabendo-se que a soma dos primeiros 48 termos é igual a "1.008" e que a sua razão (r) é iguala "2".
ii) Vamos por parte, como caracteriza o nosso modo de fazer tudo passo a passo. Note que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada pela seguinte fórmula:
S ̪ = (a₁+a ̪ )*n/2 .
Na fórmula acima substituiremos "S ̪ " por "S₄₈" pois estamos trabalhando com a soma dos 48 primeiros termos da PA. E como já sabemos que a soma dos 48 primeiros termos é igual a "1.008", então substituiremos "S ̪ " por "1.008"; por sua vez substituiremos "n" por "48", pois estamos trabalhando com a soma dos 48 primeiros termos da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
1.008 = (a₁+a ̪ )*48/2 ----- como "48/2 = 24", ficaremos apenas com:
1.008 = (a₁ + a ̪ )*24 ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
(a₁ + a ̪ )*24 = 1.008 ---- isolando (a₁+a ̪ ) , ficaremos com:
a₁ + a ̪ = 1.008/24 ----- note que esta divisão dá exatamente "42". Logo:
a₁ + a ̪ = 42 . (I).
iii) Agora vamos para a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:
a ̪ = a₁ + (n-1)*r .
Na fórmula acima, substituiremos "n" por "48" (pois estamos trabalhando com o último termo, que é 48º termo) e substituiremos "r" por "2", que é o valor da razão da PA. Assim, teremos:
a ̪ = a₁ + (48-1)*2 ----- desenvolvendo, temos:
a ̪ = a₁ + (47)*2 ------ como "47*2 = 94", teremos:
a ̪ = a₁ + 94 . (II).
iv) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "a ̪ " por "a₁+94". Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:
a₁ + a ̪ = 42 ----- substituindo-se "a ̪ " por "a₁+94" conforme vimos na expressão (II), teremos:
a₁ + a₁+94 = 42 ------ reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, temos:
2a₁ + 94 = 42 ----- passando "94" para o 2º membro, temos:
2a₁ = 42 - 94 ----- note que "42-94 = -52". Assim:
2a₁ = - 52 ----- isolando "a₁", teremos:
a₁ = - 52/2
a₁ = - 26 <--- Este é o valor do 1º termo da PA.
v) Agora já temos tudo para encontrar o valor do 12º termo, pois já temos o valor do primeiro termo (a₁ = -26) e já temos o valor da razão (r = 2). Note que a fórmula para encontrar o valor do 12º termo é esta:
a₁₂ = a₁ + (n-1)*r ----- como já temos que a₁ = -26, como já temos que n = 12 (pois estamos trabalhando com o 12º termo) e como já temos que "r" = 2, então basta fazermos as devidas substituições e teremos o valor do 12º termo. Assim:
a₁₂ = -26 + (12-1)*2 ----- desenvolvendo, temos:
a₁₂ = -26 + (11)*2 ----- como "11*2 = 22", teremos:
a₁₂ = -26 + 22 ----- finalmente como "-26+22 = -4", teremos:
a₁₂ = - 4 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido do 12º termo da PA da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.