Question

Determinar o centro, os vertices e os focos da hiperbole de equação 18x ² - 8y ² - 108x + 16y + 226 = 0?

Answer 1

Hipérbole fora da origem deve apresentar uma das equações na forma reduzida com a seguintes caracteristicas: 

■ Se (x-xo)/a² - (y - yo)/b² = 1 → centro C = (xo,yo)
→ eixo real paralelo ao eixo x 

■ Se (y - yo)/a² - (x-xo)/b² = 1 → centro C = (xo,yo)
→ eixo real paralelo ao eixo y 

Nota: (xo, yo) é o centro da hipérbole.

Resolvendo:

18x ² - 8y ² - 108x + 16y + 226 = 0

Simplificando os coeficientes por 2:

9x ² - 4y ² -  56x + 8y + 113 = 0

Agora vamos ao artifício matemático chamado COMPLETANDO QUADRADO. Isto é, termos x tem que ficar com uma "cara" tipo (x ± α)² e os termos em y com "cara" tipo (y ± β)², onde α e β são números reais. 

9(x² - 6x) - 4(y² - 2y) + 113 = 0

113 = 81 + 32 ; 9 x 9 = 81; 4 x 1 = 4 

9(x² - 6x + 9) - 4(y² - 2y + 1) + 32 + 4 = 0

Note: somamos 4 para compensar pois,  ao completar com o número 1 nos termos de y ficou -4 x 1 = -4, isto é, ficou somado -4 na equação da hipérbole. O 32 é o restante de 113 - (9x9 = 81), 81 que vem dos termos de x. 

Então fica assim: 

9(x - 3)² - 4(y - 1)² + 36 = 0

9(x - 3)² - 4(y - 1)² = -36 

-4(y - 1)² + 9(x - 3)² = - 36 

[-4(y - 1)²]/(-36) + [9(x - 3)²]/(-36) = (- 36)/(-36)

E portanto ficando assim:

(y - 1)²/9 - (x - 3)²/4 = 1 → hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y (I)

a² = 9 ⇔ a = 3 ; b² = 4 ⇔ b = 2 ; c = √a² + b² = √9 + 4 = √13

Elementos:

■ Centro ⇒ C = (xo, yo) = (3 , 1) → basta notar na relação (I) 

■ Vértices ⇒ A1 = (xo, yo + a) = (3,4) ; A2 = (xo, yo - a) = (3, -2)

■ Focos ⇒ F1 = (xo, yo + c) = (3, 1+√13) e F2 = (xo, yo - c) = (3, 1-√13)

■ Eixo Imaginário B1B2 
B1=(xo - b) = (3 - 2, 1) = ( 1,1)
B2=(xo + b) = (3 + 2, 1) = (5, 1)

Para mais detalhes confira o gráfico em anexo

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20/09/2016
Sepauto 
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Answer 2

Resposta:

-(x-3)^2/4+(y-1)^2/9=1

-a^2=4, b^2=9; Exc=1,80>1 => Hipérbole

V=(3,-2); V0=(3,4)

F=(3, 1+13^0.5); F0=(3, 1-13^0.5)  

Explicação passo-a-passo:

18x² - 8y² - 108x + 16y + 226 = 0 => Solução com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_2.html

18x^2-108x=18(x^2-6x)=(x^2-6x)=(x+a)^2=>x^2+2a+a^2=>2a=-6=a=-3=>18(x-3)^2=>18(x^2-6x+9)=>18x^2-108x+162

-8y^2+16y=-8(y^2-2y)=>y^2-2=(y+b)^2=>y^2+2yb+b^2=>2yb=-2y=>b=-1=>(y-1)^2=>-8(y-1)^2=>-8(y^2-2y+1)=>-18y^2+16y-8

18(x-3)^2-8(y-1)^2=162-8-226=>18(x-3)^2-8(y-1)^2=-72 (*-72)=>-(x-3)^2/4+(y-1)^2/9=1

-a^2=4, b^2=9, b>a; Eixo da cônica vertical, se C=(+3,+1), então eixo será x=3.

a^2=b^2+c^2 => 9=-4+c^2=>c^2=13=>c=+/-13^0.5, Exc= c/a=> Exc=13^0.5/2=> Exc=1,80>1, então trata-se de um Hipérbole.

No eixo da Hipérbole, x=3 encontraremos  Centro C=(3,1), Vértices V=(3,+/-yv) e F=(3, yf+/-c)

F=(3, 1+/-13^0.5)=>F=(3, 1+13^0.5); F0=(3, 1-13^0.5)  

yv=18(x-3)^2-8(y-1)^2=-72; x=3 => 18(3-3)^2-8(y-1)^2=-72 =>-8(y-1)^2=-72=> y^2-2y+1=9=> y^2-2y-8=0  => y=4 y=-2  V=(3,-2); V0=(3,4)