Question

Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

Answer 1

$a_{100} = ?$
$a_{3} + a_{7} = 30\\ a_{4} + a_{9} = 60$

Para descobrirmos o valor de um termo em uma progressão aritmética, usamos a fórmula: 
$a_{n} = a_{m} + (n-m)*r$

Desta forma podemos descobrir a razão através dos dados fornecidos pelo exercício

$a_{3} + a_{7} = 30 \\ a_7 = a_3 + 4*r \\ a_3 + a_3 + 4*r = 30\\ 2a_3 + 4r = 30$

$a_4 + a_9 = 60\\ a_4 = a_3 + r\\ a_9 = a_3 + 6*r\\ a_3 + r + a_3 + 6*r = 60\\ 2a_3 + 7r = 60$

$2a_3 + 4r = 30\\ 2a_3 + 7r = 60 (-1)\\ -3r = -30\\ r = 10\\ 2a_3 + 40 = 30\\ 2a_3 = -10\\ a_3 = - 5$

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$a_{100} = a_3 + 97*r\\ a_{100} = -5 + 97*10\\ a_{100} = -5 + 970 = 965$