Question

Determinar o ângulo formado pela reta

r:$\left \{ {{y= -2x} \atop {z=2x +1}} \right.$
e o plano $\pi$: x - y +5 = 0

Answer 1

um ponto da reta para X =1 
(1,-2,3) = P
um ponto da reta para x=3
(3,-6,7) = Q

o vetor diretor será Q-P =  (2,-4,4) = (1,-2,2) 

vou chamar esse vetor diretor de A
A= (1,-2,2)
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plano =  x - y +5 = 0

o vetor normal a esse plano é (1,-1,0) que vou chamar de B

B=(1,-1,0)

agora para achar o angulo entre a reta e o plano

$\boxed{sen(\theta)= \frac{A*B}{|A|*|B|} }$

$A=(1,-2,2)\\\\|A|= \sqrt{1^2+2^2+2^2} =3$

$B=(1,-1,0)\\\\|B|= \sqrt{2}$

agora fazendo o produto escalar entre A e B
$A*B\\\\(1,-2,2)*(1,-1,0)\\\\(1*1)+(-2*-1)+(2*0)\\\\A*B=1+2=3$


agora temos
$sen(\theta)= \frac{3}{ 3* \sqrt{2}} \\\\ \theta=arcsen( \frac{1}{ \sqrt{2} } ) \\\\\theta=90^\circ$

arcsen na calculadora pode estar escrito como$sen^{-1}$