Question

determinar o angulo entre os vetores
a) u=(2,-1,-1) e v =(-1,-1,2)
b) u= ( 1,-2,1) e v= (-1,1,0)

Answer 1

a) cos Ф =    v . u        =       (-1 , -1, 2) (2, -1, -1)
                 ║v║ ║u ║    √(-1)² + (-1)² + 2² √2² + (-1)² + (-1)²

cos Ф = -2 +1- 2 = - 3 = - 1 ⇒ Ф = 120°
             √6 √6          6       2

b) cos Ф =        ( -1, 1, 0) (1, -2, 1)  = -1 - 2 =   -  3  = - 3  = - 3√3  = - √3
                         √1 + 1 √1 + 4 + 1      √2 √6      √12    2√3        6          2
Ф = 150º

Answer 2

a) O ângulo entre os vetores u e v é 120º

b) O ângulo entre os vetores u e v é 150º

Produto escalar

O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos de seus componentes x, y e z no |R₃.

u = (u₁, u₂, u₃)

v = (v₁, v₂, v₃)

u·v = u₁·v₁ + u₂·v₂ + u₃·v₃

Também pode ser escrito na forma:

u·v = |u|·|v|· cos θ, sendo θ o ângulo entre os dois vetores.

Ângulo entre dois vetores

Dadas essas definições de produto vetorial, podemos encontrar o ângulo através de seu cosseno da seguinte forma:

$cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u|\cdot|v|}$

Assim, podemos resolver a letra a), dessa maneira:

$cos \theta = \frac{2\cdot (-1) + (-1)\cdot(-1) + (-1)\cdot 2}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(2)^2}}\\cos \theta = \frac{-2 + 1 - 2}{\sqrt{4+1+1} \cdot \sqrt{1+1+4}}\\cos \theta = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

O arco cujo cosseno dá -0,5 é 120º

Agora resolvemos o item b) assim:

$cos \theta = \frac{1\cdot (-1) + (-2)\cdot 1 + 1\cdot 0}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\cos \theta = \frac{-1-2}{\sqrt{1+4+1} \cdot \sqrt{1+1+0}}\\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt {12}} = -\frac{3}{2\sqrt 3} = -\frac{\sqrt3}{2}$

O arco cujo cosseno dá -√3/2 é 150º

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