Question

Determinar m na equação $mx^2-2(m-1)x+m=0$ para que se tenha $\frac{x'}{x''} + \frac{x''}{x'} =4$, onde x' e x'' são as raízes da equação.

Answer 1

Questão que faz uso das relações de Girard.

i) Façamos $E=\dfrac{x'}{x''}+\dfrac{x''}{x'}$, onde $x'$ e $x''$ são as raízes de uma equação $ax^2+bx+c=0$ qualquer, não vamos nos prender à do exercício. Vamos, inicialmente, escrever $E$ em termos de $a, \ b$ e $c$

$E=\dfrac{x'}{x''}+\dfrac{x''}{x'}\Rightarrow E=\dfrac{(x')^2+(x'')^2}{x'.x''}\\ \\ \mathrm{Podemos \ reescrever \ o \ numerador \ como} \ (x'+x'')^2-2x'.x''. \ \mathrm{Teremos}\\ \\ E=\dfrac{(x'+x'')^2-2x'.x''}{x'.x''}\\ \\ \boxed{E=\dfrac{(x'+x'')^2}{x'.x''}-2}$

ii) Usaremos agora as relações de Girard. Caso não se lembre:

$\begin{cases}x'+x''=-\dfrac{b}{a}\\ \\ x'.x''=\dfrac ca\end{cases}$

Substituindo essas expressões nos "lugares" correspondentes teremos:

$E=\dfrac{\left(-\frac ba\right)^2}{\frac ca}-2\\ \\ E=\dfrac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac ca}-2\\ \\ E=\dfrac{b^2}{a^2}.\dfrac ac-2\\ \\ \boxed{E=\dfrac{b^2}{ac}-2}$

iii) Agora tomemos a equação da nossa questão. Nela temos o seguinte:

$\begin{cases}a=m\\ b=-2(m-1)\\ c=m\\ E=4\end{cases}$

Substituindo e simplificando teremos:

$4=\dfrac{(-2(m-1))^2}{m.m}-2\\ \\ \dfrac{4(m-1)^2}{m^2}=6\\ \\ 4(m^2-2m+1)=6m^2 \ {:2 \atop \Longrightarrow} \ 2(m^2-2m+1)=3m^2\\ 2m^2-4m+2=3m^2\\ m^2+4m-2=0$

iv) Agora é só resolver a equação acima e encontrar os possíveis valores de $m$

$\Delta=4^2-4.1.(-2)\Rightarrow \Delta = 16+8\Rightarrow \Delta=24\\ \\ m=\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{2.1}\Rightarrow m=\dfrac{-4\pm\sqrt{4.6}}{2}\\ \\ m=\dfrac{-4\pm2\sqrt6}{2}\\ \\ \boxed{\boxed{m=-4\pm\sqrt6}}$