Question

Determinar em cada caso a posição relativa das retas r em relação as retas s: paralelas distintas, paralelas coincidentes, concorrentes ou perpendiculares.

a) r= 2x-y+2=0
s: x-1/2y+1=0

b) r= 4x-3y+18=0
s= 3x+4y-4=0

Answer 1

a) Primeiramente, deve-se encontrar o coeficiente angular (m) de cada uma das retas para poder compará-los. Para isso, basta isolar y em r e s. 
Sabendo que de uma forma geral y = mx+ b:

Em r: 2x + 2 = y
         y = 2x + 2         ∴ m = 2

Em s: x + 1 = y/2
          y = 2(x+1)
          y = 2x + 2        ∴ m = 2

Se os coeficientes angulares são iguais, as retas são paralelas. Agora, pede-se para determinar se são coincidentes ou distintas. 
No caso de retas distintas:
a₁/a₂ =  b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
Já para retas coincidentes:
a₁/a₂ =  b₁/b₂ = c₁/c₂

Sendo r: a₁x + b₁y + c₁ e s: a₂x+ b₂y + c₂ , basta comparar os coeficientes:

2/1 = -1/(-1/2) = 2/1

Se -1/(-1/2) = -1(-2) = 2, então:
2 = 2 =2

Portanto, as retas são paralelas coincidentes. 

b) Comparando os coeficientes angulares:
r: 3y = 4x + 18
   y = 4x/3 + 18/3                 ∴ m = 4/3

s: 4y = -3x + 4
   y = -3x/4 +4/4                     ∴ m = -3/4

Os coeficientes são diferentes, portanto, as retas são concorrentes.