Question

Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r1 e r2.

Answer 1

O ponto de interseção é (3, 8, 12).

$\dotfill$

As equações paramétricas definem duas retas no espaço. Se a interseção existe, o ponto de interseção (x,y,z) é tal que:

2 - t = - 3 + 6h

3 - 5t = 1 + 7h

6 - 6t = -1 + 13h

Simplificando:

6h + t = 5

7h + 5t = 2

13h + 6t = 7

Resolvendo o sistema de três equações e duas variáveis para t e h:

t = 5 - 6h (Isolando t na primeira equação)

7h + 5.(5 - 6h) = 2 (Substituindo na segunda)

7h + 25 - 30h = 2

-23h  = 2 - 25

-23h = -23

h = 1

E daí,

t = 5 - 6h

t = 5 - 6

t = -1

Verificando se funciona na última equação:

13(1) + 6(-1) = 7      

13 - 6 = 7

7 = 7    (OK!)

Logo, h = 1  e  t = -1. Substituindo em qualquer uma das retas:

x = 2 - t = 2 - (-1) = 3

y = 3 - 5t = 3 - 5(-1) = 8

z = 6 - 6t = 6 - 6(-1) = 12

Enfim, o ponto de interseção é (3, 8, 12).

Até mais!

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o ponto de interseção entre as referidas retas é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I = (3, 8, 12)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as equações paramétricas das retas:  

   $\Large\begin{cases}r_{1}: \Large\begin{cases}x = 2 - t\\ y = 3 - 5t\\ z = 6 - 6t\end{cases}\\\\ r_{2}: \Large\begin{cases}x = -3 + 6h\\ y = 1 + 7h\\ z = -1 + 13h\end{cases}\end{cases}$

Para encontrar o ponto de interseção das retas devemos:

• Calcular os valores dos parâmetros "t" e "h":

       Para isso, devemos igualar os valores das coordenadas de "r1" com as coordenadas de "r2" e resolver o sistema resultante. Então temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\:\:\:\:\:2 - t = -3 + 6h\\ 3 - 5t = 1 + 7h\\ \:\:\:\:\:\:6 - 6t = -1 + 13h\end{gathered}$

      Isolando "t" na 1ª equação, temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}2 - t = -3 + 6h \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}-t = -3 + 6h - 2 \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}-t = 6h - 5 \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}t = 5 - 6h \end{gathered}$

       Substituindo o valor de "t" na 2ª equação, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}3 - 5(5 - 6h) = 1 + th \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}3 - 25 + 30h = 1 + 7h \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}30h - 7h = 1 -3 + 25 \end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}23h = 23 \end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}h = \frac{23}{23} \end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}h = 1 \end{gathered}$

         Substituindo o valor de "h" na equação que possui o "t" isolado, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}t = 5 - 6\cdot1 = 5 - 6 = -1 \end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:t = -1 \end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \end{gathered}$

       Agora, devemos verificar se os valores de "t" e "h" satisfaz a 3ª equação. Caso positivo, existirá o ponto de interseção. Caso contrário, não existirá interseção. Então, realizando a verificação, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}6 - 6t = -1 + 13h \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}6 - 6\cdot(-1) = -1 + 13\cdot1 \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}6 + 6 = -1 + 13 \end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}12 = 12 \end{gathered}$

Portanto, o ponto de interseção existe.

• Calcular o ponto de interseção:

         Para isso, devemos substituir o parâmetro de qualquer uma das equações pelo respectivo valor. Neste caso, vou substituir o parâmetro "t" pelo seu valor na reta "r1". Então:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}r_{1}: \Large\begin{cases} x = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3\\ y = 3 - 5\cdot(-1) = 3 + 5 = 8\\ z = 6 - 6\cdot(-1) = 6 + 6 = 12\end{cases} \end{gathered}$

✅ Portanto, o ponto de interseção é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}I(3, 8, 12) \end{gathered}$

Saiba mais:

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