Question

Determinar, caso exista, o plano tangente ao gráfico de $z = 4 - 2x^2 + y^2$ no ponto (-2, 1, -3).


Obrigada

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos determinar, caso exista, o plano tangente ao gráfico da função $z=4-2x^2+y^2$ no ponto $(-2,~1,\,-3)$.

Lembre-se que a equação do plano tangente a curva do gráfico de uma função de duas variáveis $z=f(x,~y)$ em um ponto $(x_0,~y_0,~z_0)$ de seu domínio é calculada pela fórmula: $z-z_0=\dfrac{\partial f}{\partial x}\cdot(x-x_0)+\dfrac{\partial f}{\partial y}\cdot(y-y_0)$, em que $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ são as derivadas parciais da função.

Primeiro, determinamos se o ponto $(-2,~1,\,-3)$ pertence ao domínio da função:

$-3=4-2\cdot(-2)^2+1^2\\\\\\ -3=4-8+1\\\\\\ -3=-3~~\checkmark$

Então, calculamos as derivadas parciais da função neste ponto.

Calculando $\dfrac{\partial f}{\partial x}$, temos:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(4-2x^2+y^2)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função em respeito a uma de suas variáveis é calculada considerando o restante das variáveis como constantes.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{d}{dx}(f(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma e da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(4)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(-2x^2)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(y^2)\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}=-2\cdot\dfrac{\partial f}{\partial x}(x^2)$

Calcule a derivada da potência

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=-2\cdot2\cdot x^{2-1}\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x} = -4x}$

Calculando $\dfrac{\partial f}{\partial y}$, temos:

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(4-2x^2+y^2)$

Aplique a regra da soma e da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(4)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(-2x^2)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(y^2)\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}(y^2)$

Calcule a derivada da potência

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=2\cdot y^{2-1}\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2y}$

Substituindo estes resultados na fórmula para a equação do plano tangente, temos:

$z-(-3)=(-4\cdot (-2))\cdot(x-(-2))+2\cdot 1\cdot(y-1)$

Multiplique os termos

$z+3=8\cdot(x+2)+2\cdot(y-1)\\\\\\ z+3=8x+16+2y-2$

Subtraia $3$ em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes

$z=8x+2y+11~~\checkmark$

Esta é a equação do plano tangente ao gráfico da função $z=4-2x^2+y^2$ no ponto $(-2,~1,\,-3)$.

Observe a imagem em anexo, gerada pelo software Wolfram Alpha.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície pelo ponto "P" é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: -8x - 2y + z = 11\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} s: z = 4 - 2x^{2} + y^{2}\\P(-2, 1, -3)\end{cases}$

Organizando a equação da superfície "s" para facilitar os cálculos, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} s: 2x^{2} - y^{2} + z = 4\end{gathered}$  

Para saber se existe plano tangente a uma determinada superfície passando por um determinado ponto de tangência, devemos verificar se o referido ponto pertence à referida superfície. Caso positivo, existe plano tangente. Caso contrário, não existe plano tangente.

Substituindo as coordenadas do ponto "P" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot(-2)^{2} - 1^{2} + (-3) = 4\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot4 - 1 - 3 = 4\end{gathered}$

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4 = 4\end{gathered}$

Como ambos membros da equação "II" são iguais, então o ponto "P" pertence à superfície em foco.

Sabendo que para determinar a equação geral do plano "π" tangente à superfície de nível, precisamos do vetor normal "n" ao referido plano e o ponto de tangencia - que neste caso é o ponto "P" - entre o plano e a superfície, ou seja, precisamos dos seguintes itens:

                  $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{n}, Y_{n}, Z_{n})\\P(X_{P}, Y_{P}, Z_{P})\end{cases}$

Sabendo que a equação geral do plano pode ser montada sobre a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$     $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A função "f" - que vou me referir a partir de agora - se refere a função que representa o elipsoide "p".

Para montar a referida equação do plano devemos utilizar as seguintes etapas:

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = 2\cdot2\cdot x^{2 - 1} = 4x\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = -1\cdot2\cdot y^{2 - 1} = -2y\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = 1\cdot z^{1 - 1} = 1\cdot z^{0} = 1\cdot 1 = 1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\:\frac{\partial f}{\partial y},\:\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4x, -2y, 1)\end{gathered}$

           Portanto, o vetor gradiente é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = (4x, -2y, 1)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal.

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(P)\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{P},\:\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{P},\:\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{P}\Bigg)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4\cdot(-2), -2\cdot1, 1)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-8, -2, 1)\end{gathered}$

         Portanto, o vetor normal à superfície pelo ponto "T" é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{n_{\pi}} = (-8, -2, 1) \end{gathered} }$

• Montar a equação geral do plano tangente.

        Substituindo os valores na equação "III", temos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered} -8\cdot x + (-2)\cdot y + 1\cdot z = -8\cdot(-2) + (-2)\cdot1 + 1\cdot(-3)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} -8x - 2y + z = 16 - 2 - 3\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} -8x - 2y + z = 11\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente à superfície é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\pi: -8x - 2y + z = 11\end{gathered}$

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Solução gráfica: