Question

Determinar as trajetórias ortogonais da família de curvas x² + y² + 2px + a² = 0 onde (p) é um parâmetro e (a) é constante.

Answer 1

$x^2+y^2+2px+a^2=0$

derivando con respecto a x

$(x^2+y^2+2px+a^2)'=0\\ \\ 2x+2yy'+2p=0\\ p=-x-yy'$

reemplazando en la ecuación original

    $x^2+y^2-2(x+yy')x+a^2=0\\ \\ x^2-y^2+2xyy'-a^2=0\\ \\ \boxed{y'=-\dfrac{x^2-y^2-a^2}{2xy}}$

Entonces la pendiente de la familia de curvas ortogonales a la familia original es

                         $\boxed{y'=\dfrac{2xy}{x^2-y^2-a^2}}$

resolvamos esta EDO
                                  $2xy\,dx+(y^2+a^2-x^2)dy=0$ ......(A)

fácilmente puede observar que no es una EDO exacta, veamos si podemos convertirla en una EDO exacta

         $P(x,y)=2xy\to P_y=2x\\ Q(x,y)=y^2+a^2-x^2\to Q_x=-2x$

Cálculo del Factor integrante

         $\displaystyle FI=\exp\int \dfrac{Q_x-P_y}{P}dy\\ \\ FI=\exp\int \dfrac{-4x}{2xy}dy\\ \\ FI=\exp\left(-2\int \dfrac{1}{y}dy\right)\\ \\ FI=\exp\left(-2\ln y\right)\\ \\ \boxed{FI=\dfrac{1}{y^2}}$

Entonces multiplicamos a la EDO (A) por el FI

       $\dfrac{2x}{y}dx+\dfrac{y^2+a^2-x^2}{y^2}dy=0\\ \\ f_x(x,y)=\dfrac{2x}{y}\to f(x,y)=\dfrac{x^2}{y}+ \phi(y)\\ \\ f_y(x,y)=\dfrac{d}{dy}\left[\dfrac{x^2}{y}+ \phi(y)\right]\\ \\ \\ \dfrac{y^2+a^2-x^2}{y^2}=-\dfrac{x^2}{y^2}+\phi'(y)\\ \\ \phi'(y) = \dfrac{y^2+a^2}{y^2}=1+\dfrac{a^2}{y^2}\\ \\ \phi(y)=y-\dfrac{a^2}{y}\\ \\\text{Por ende}\\ \\ f(x,y)=\dfrac{x^2}{y}+y-\dfrac{a^2}{y}\\ \\ \boxed{\dfrac{x^2+y^2-a^2}{y}=C_1}$

Acomodando ....
                                 $\boxed{x^2+y^2+Cy-a^2=0}$

es la familia de curvas ortogonales