Determinar as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:
Em anexo!
Anexos:

trindadde:
Dá muito trabalho pra digitar. Reposta essa questão oferecendo uma pontuação maior que eu respondo.
Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Olá!
Lembrando a integração por partes:

a)
Faça
e
Então:

b)
Sejam
e
Segue que
![\displaystyle \int xe^{3x}\;dx = x\cdot \frac{e^{3x}}{3}-\int \frac{e^{3x}}{3}\cdot 1\;dx = x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int e^{3x}\;dx = \\ \\ \\ =
x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{e^{3x}}{3} + k,\;k\in\mathbb{R} =
\frac{e^{3x}}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)+k,\;k\in\mathbb{R}.\\ \\ \\ \therefore
\;\;\; \int_0^1xe^{3x}\;dx=\left[\frac{e^{3x}}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\right]\bigg{|}_0^1=\\ \\ \\ = \frac{e^3}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{e^0}{3}\left(0-\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \int xe^{3x}\;dx = x\cdot \frac{e^{3x}}{3}-\int \frac{e^{3x}}{3}\cdot 1\;dx = x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int e^{3x}\;dx = \\ \\ \\ =
x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{e^{3x}}{3} + k,\;k\in\mathbb{R} =
\frac{e^{3x}}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)+k,\;k\in\mathbb{R}.\\ \\ \\ \therefore
\;\;\; \int_0^1xe^{3x}\;dx=\left[\frac{e^{3x}}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\right]\bigg{|}_0^1=\\ \\ \\ = \frac{e^3}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{e^0}{3}\left(0-\frac{1}{3}\right) =](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Cint+xe%5E%7B3x%7D%5C%3Bdx+%3D+x%5Ccdot+%5Cfrac%7Be%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D-%5Cint+%5Cfrac%7Be%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D%5Ccdot+1%5C%3Bdx+%3D+x%5Cfrac%7Be%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint+e%5E%7B3x%7D%5C%3Bdx+%3D+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%3D+%0Ax%5Cfrac%7Be%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7Be%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D+%2B+k%2C%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D+%3D+%0A%5Cfrac%7Be%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D%5Cleft%28x-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29%2Bk%2C%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D.%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Ctherefore+%0A%5C%3B%5C%3B%5C%3B+%5Cint_0%5E1xe%5E%7B3x%7D%5C%3Bdx%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Be%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D%5Cleft%28x-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29%5Cright%5D%5Cbigg%7B%7C%7D_0%5E1%3D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7Be%5E3%7D%7B3%7D%5Cleft%281-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7Be%5E0%7D%7B3%7D%5Cleft%280-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29+%3D+)

Bons estudos!
Lembrando a integração por partes:
a)
Faça
b)
Sejam
Bons estudos!
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