Question

Determinar as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:

Em anexo!

Answer 1

Olá!

    Lembrando a integração por partes:


$\displaystyle \int{u\;dv=u\cdot{v}-\int{v\cdot{du}}}.$



a)

    Faça   $u=\ln{x}$   e   $dv=x.$   Então:


$\displaystyle \int x\ln x\;dx= \ln x \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\;dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\;dx = \\ \\ \\ = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + k,\;k\in\mathbb{R} = \frac{x^2}{2}\left(\ln x-\frac{1}{2}\right)+k,\;k\in\mathbb{R}.$


b)

    Sejam   $u=x$   e   $dv=e^{3x}.$    Segue que


$\displaystyle \int xe^{3x}\;dx = x\cdot \frac{e^{3x}}{3}-\int \frac{e^{3x}}{3}\cdot 1\;dx = x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int e^{3x}\;dx = \\ \\ \\ = x\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{e^{3x}}{3} + k,\;k\in\mathbb{R} = \frac{e^{3x}}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)+k,\;k\in\mathbb{R}.\\ \\ \\ \therefore \;\;\; \int_0^1xe^{3x}\;dx=\left[\frac{e^{3x}}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\right]\bigg{|}_0^1=\\ \\ \\ = \frac{e^3}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{e^0}{3}\left(0-\frac{1}{3}\right) =$

$\displaystyle =\frac{e^3}{3}-\frac{e^3}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3e^3-e^3+1}{9}=\frac{2e^3+1}{9}.$




Bons estudos!