Question

determinar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,1,4) e tem direção do vetor v=(2,-2,-1)

Answer 1

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação simétrica da referida reta que passa pelo ponto "A" e tem a direção do vetor "v" é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \frac{x - 3}{2} = \frac{-y + 1}{2} = -z + 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                      $\Large\begin{cases} A(3, 1, 4)\\\vec{v} = (2, -2, -1)\end{cases}$

Sabemos que a equação simétrica da reta no espaço tridimensional pode ser montada a partir da seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{x - x_{A}}{x_{\vec{v}}} = \frac{y - y_{A}}{y_{\vec{v}}} = \frac{z - z_{A}}{z_{\vec{v}}}\:\:\:x_{\vec{v}} \neq 0,\,y_{\vec{v}}\neq 0\:e\:z_{\vec{v}} \neq 0\end{gathered} }$

Substituindo tanto as coordenadas do ponto "A" quanto as componentes do vetor "v" na equação "I", temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 4}{-1}\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{x - 3}{2} = \frac{-y + 1}{2} = -z + 4\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação simétrica é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \frac{x - 3}{2} = \frac{-y + 1}{2} = -z + 4\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$