Question

determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(-3,-1,-4) e B(-3,2,2)?


determinar uma equação geral do plano determinado pelos pontos A(-3,-1,-4), B(3,1-3,) e C(-4,-2,-3)?

Answer 1

Para determinar a equação de uma reta precisamos de um ponto e um vetor diretor (que dará a direção da reta)

Podemos escolher o ponto A e um vetor diretor dessa reta terá a direção do vetor AB

Então, para um ponto P(x, y, z) qualquer nessa reta, O vetor AP será um múltiplo de AB:

AP = k.AB

AP= P - A

P - A = kAB
P = A + KAB (equação vetorial da reta) A partir dessa, conseguimos as paramétricas, mas antes vamos determinar o vetor AB:

AB = B - A = (-3, 2, 2) - (-3, -1, -4) = (0, 3, 6)

Substituindo: 

P = A + KAB
(x, y, z)= (-3, 2, 2) + K(0, 3, 6)
(x, y, z)= (-3, 2, 2) + (0, 3K, 6K)
(x, y, z)= (-3, 2 + 3K, 2 + 6K)

Igualando as componentes, teremos as equações paramétricas:

{x = -3
{y = 2 + 3K
{z = 2 + 6K

Para Determinar um plano, precisamos de um ponto e e dois vetores L.I. (Linearmente Independentes)

Podemos tomar, por exemplo o ponto A e os vetores AB e AC

Um ponto P(x, y, z) pertencerá ao plano se, e somente se, AP, AB e AC forem coplanares, ou seja, forem Linearmente Dependentes. 

Existem várias formas de dizer que 3 vetores são LD: 

Podemos escrever um vetor como combinação linear dos outros dois ou o produto misto entre os três vetores é igual a zero: [AP, AB, AC] = 0

A equação geral do plano será dada justamente pela condição de que [AP, AB, AC] = 0

AP = P - A = (x, y, z) - (-3, -1, -4) = (x + 3, y + 1, z + 4)
AB = B - A = (3, 1, -3) - (-3, -1, -4) = (6, 2, 1)
AC = C - A = (-4, -2, -3) - (-3, -1, -4) = (-1, -1, 1)

Fazendo o determinante:

$\left[\begin{array}{ccc}x+3&y+1&z+4\\6&2&1\\-1&-1&1\end{array}\right] =0 \\ \\ (x+3) . \left[\begin{array}{cc}2&1\\-1&1\\\end{array}\right] - (y+1) . \left[\begin{array}{cc}6&1\\-1&1\\\end{array}\right] +(z+4). \left[\begin{array}{cc}6&2\\-1&-1\\\end{array}\right] = 0 \\ \\ (x+3) . (3) - (y+1) . (7) + (z+4) . (-4) = 0 \\ \\ 3x+9-7y-7-4z-16 = 0 \\ \\ 3x - 7y - 4z -14 = 0$

Logo a equação geral do plano é 3x - 7y - 4z -14 = 0

Uma outra forma para determinar a equação do plano é usar o fato de que o vetor normal a de um plano (exemplo: plano ax + by + cz + d = 0, o vetor normal será n = (a, b, c)) é sempre ortogonal aos dois vetores que formam o plano. Assim, esse vetor normal terá uma direção paralela ao produto vetorial entre os dois vetores do plano, assim podemos dizer que:

AB x AC = kn, sendo n o vetor normal do plano ou simplesmente:
AB x AC = n

AB x AC = 

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\6&2&1\\-1&-1&1\end{array}\right] \\ \\ (i) . \left[\begin{array}{cc}2&1\\-1&1\\\end{array}\right] - (j) . \left[\begin{array}{cc}6&1\\-1&1\\\end{array}\right] +(k). \left[\begin{array}{cc}6&2\\-1&-1\\\end{array}\right] \\ \\ (i) . (3) - (j) . (7) + (k) . (-4) \\ \\ 3i-7j-4k$

logo AB x AC = (3, -7, -4)

Assim, podemos dizer que a equação do plano que queremos será:

ax + by + cz + d = 0

3x - 7y - 4z + d = 0

Para determinar d, basta pegar qualquer ponto do plano, por exemplo A (-3, -1, -4)

3(-3) - 7(-1) - 4(-4) + d = 0
-9 + 7 +16 + d = 0
14 + d = 0
d = -14

A equação do plano será: 

3x - 7y - 4z -14 = 0

Espero ter ajudado.