Question

Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1, 0, 0) e é paralela a cada um dos planos
π1 : 2x − y − z + 1 = 0
π2 : x + 3y + z − 5 = 0

Answer 1

A equação paramétrica da reta paralela a cada um dos planos é:

$r = \left \{ \begin{matrix} x = -1 + t \\ y = -\frac{3}{2}t \\ z=\frac{7}{2}t \end{matrix} \right.$

$\dotfill$

Da Geometria Analítica, se uma reta $r$ é paralela a um plano $\pi$, então o vetor $\vec v$ direção da reta é perpendicular ao vetor $\vec n$ normal ao plano. Na linguagem matemática, se $r || \pi \rightarrow \vec v \perp \vec n$.

Seja $\vec v = (x_{v},y_{v},z_{v})$ o vetor diretor da reta. Os vetores normal aos planos $\pi_{1}$ e $\pi_{2}$ são $n_{1}=(2,-1,1)$ e $n_{2}=(1,3,1)$. Como $r$ é paralela aos planos $\pi_{1}$ e $\pi_{2}$, logo:

$\vec v \perp \pi_{1} \rightarrow \left \langle \vec v,\pi_{1} \right \rangle = 0 \rightarrow 2x_{v}-y_{v}-z_{v}=0$

e

$\vec v \perp \pi_{2} \rightarrow \left \langle \vec v,\pi_{2} \right \rangle = 0 \rightarrow x_{v}+3y_{v}+z_{v}=0$

Somando as duas equações:

$3x_{v}+2y_{v} = 0$

$y_{v} = -\frac{3}{2} x_{v}$

Isolando $z_{v}$ na primeira equação:

$2x_{v}-y_{v}=z_{v}$

$2x_{v}+\frac{3}{2} x_{v}=z_{v}$

$z_{v}=\frac{7}{2} x_{v}$

Logo, o vetor $\vec v$ tem direção $(1,-\frac{3}{2},\frac{7}{2})$.

Assim, a reta tem equações paramétricas:

$r = \left \{ \begin{matrix} x = -1 + t \\ y = -\frac{3}{2}t \\ z=\frac{7}{2}t \end{matrix} \right.$

Até mais!