Question

Determinar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da curva dada por y=2x³-3x , no ponto de abscissa 1

Answer 1

$f(x)=2x^3-3x$

queremos que a reta tangente passe pelo ponto xo=1
procurando o valor da yo ..que é em f(xo) ou seja f(1)

$f(1)=2*1^3 -3*1=-1$

então a reta procurada vai passar pelo ponto (1,-1) -> xo=1 ,yo =-1
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derivando a função
$f'(x)=2*3x^{3-1}-3*1\\\\f'(x)=6x^2-3$

o coeficiente angular(m) da reta tangente procurada é a derivada calculada no ponto xo
m = f'(xo) = f'(1)
$f'(1)=6*1^2-3 = 3$

agora ja temos tudo para montar a equação da reta tangente

$\bmatrix y=m(x-x_0)+y_o\\\\x_0 =1\\y_0=-1\\m=3 \end$

$y=3(x-1)+(-1)\\\\y=3x-3-1\\\\\boxed{\boxed{T:y=3x-4}}$

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calculando a reta normal...a unica coisa que muda é o coeficiente angular que sera -1/m

equação da reta normal
$y= \frac{-1}{m} (x-x_0)+y_0\\\\y= \frac{-1}{3}(x-1)+(-1) \\\\y= \frac{-x+1}{3} -1\\\\y= \frac{-x+1-3}{5}\\\\\boxed{\boxed{N:y= \frac{-x-2}{3} }}$