Question

Determinar a terceira coordenada do vetor u de tamanho Raíz de 2, que seja simultaneamente ortogonal ao vetor a =(1,−1,1) e ao vetor b =(1,1,1), além disso u forma um ângulo agudo (ângulo menor que 90 graus) com o vetor de coordenadas (2,3,-4).

Answer 1

Pelos cálculos realizado, chegamos a conclusão de que vetor (u) é dado por $\bf u = (1,0,-1)$

Explicação

Pela questão, sabemos algumas informações sobre o vetor (u), como perpendicularidade com outros vetores e módulo.

• Módulo:

Primeiramente vamos utilizar esta informação sobre o módulo, já que para determinar a magnitude de um vetor basta retirar a raiz do quadrado dos termos.

$| |w| | = \sqrt{(w_{x}) {}^{2} +(w_{y}) {}^{2} + \cdots +(w_{n}) {}^{2} }$

Como não sabemos as coordenadas do vetor (u), vamos supor um vetor de coordenadas genéricas. Tomemos então $u=(x,\:y,\:z)$. Logo, o seu módulo será igual a:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: | |u| | = \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} }$

No enunciado é dito que o módulo de u é igual a raiz de 2. Substituindo esta informação:

$| |u| | = \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} } \: \to \: \sqrt{2} = \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ ( \sqrt{2} ) {}^{2} = ( \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} } ) { }^{2} \: \: \to \: \: \boxed{x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} = 2 \: \: (I)}$

• Perpendicularidade:

Um vetor ser perpendicular a outro nos permite aplicar uma propriedade do produto escalar, que fala que se houver perpendicularidade entre dois vetores, o produto escalar entre eles é igual a 0.

$u\:\cdot\:v=0$ se e somente se o ângulo entre eles é igual a $90^o$.

$\large \ast$Lembrando que o produto escalar é dado pela soma da multiplicação de coordenada a coordenada dos vetores envolvidos.

$\bf{produto \: escalar} \\ \begin{cases}u=(u_x,\:u_y,\:u_z)\:\: e\:\: v=(v_x,\:v_y,\:v_z)\\ \\u\cdot v=(u_x\:.v_x+u_y\:.\:v_y+u_z\:.\:v_z)\end{cases}$

• Produto escalar entre u e a:

Sendo $u=(x,\:y,\:z)$ e $a=(1,\:-1,\:1)$, como eles são ortogonais, então:

$u \: \cdot \: a = 0 \: \: \to \: \: (x,\:y,\:z) \: \cdot \:(1,\: - 1,\:1) = 0 \\ \\ x \: . \: 1 + y \: . \: ( - 1) + z \: . \: 1 = 0 \: \: \to \: \: \boxed{x - y + z = 0 \: \:II)}$

• Produto escalar entre u e b:

Sendo $u=(x,\:y,\:z)$ e $b=(1,\:1,\:1)$.

$u \: \cdot \: b = 0 \: \: \to \: \: (x,\:y,\:z) \: \cdot \:(1,\: 1,\:1) = 0 \\ \\ x \: . \: 1 + y \: . \: 1+ z \: . \: 1 = 0 \: \: \to \: \: \boxed{x + y + z = 0 \: \: I II)}$

• Sistema de equações:

Observe que três relações de três incógnitas foram montadas, ou seja, podemos montar um sistema (3 x 3) com estas equações e resolvê-lo para encontrar o valor de cada incógnita.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases}x + y + z = 0 \\ x - y + z = 0 \\ x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} = 2\end{cases}$

Para resolver este sistema, vamos utilizar o método da substituição. Iniciando por:

$(1) \begin{cases}x - y + z = 0 \\ x= y - z \: \: \end{cases} \: \: (2) \begin{cases}x + y + z = 0 \\ y - z + y + z = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Como y = 0, obtemos que x e z possuem dois valores distintos, sendo elas: $x=\pm1$ e $z = \pm1$

Já que estamos calculando as coordenadas do vetor (u) e obtemos dois possíveis valores, ficando com duas possibilidades para o vetor (u), que são: $\: u_1 = (1,0,-1) \: \: \: e \: \: \: u_2 = (-1,0,1)$

• Ângulo entre vetores:

Para de fato determinar qual o vetor certo que cumpra as exigências do enunciado, vamos utilizar a última informação que nos resta, que é a de que o vetor (u) forma um ângulo agudo com o vetor $j = (2,3,-4)$. O cálculo dará-se através da fórmula do ângulo entre dois vetores, sendo ela: $\cos( \theta) = \frac{u \: \cdot \: v}{ | |u| | \: . \: | |v| | }, \: 0 \leqslant \theta \leqslant 180 {}^{o}$. Agora vamos calcular cada ângulo separadamente.

• ângulo entre $\bf u_1$e$\bf j$:

$\cos( \theta) = \frac{(1,\:0,\: - 1) \: \cdot \:(2,\:3,\: - 4)}{ \sqrt{1 {}^{2} + 0 {}^{2} + 1 {}^{2} } \: \: . \: \: \sqrt{2 {}^{2} + 3 {}^{2} + 4 {}^{2} } } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{1.2 \: + \: 0.3 \: + \: ( - 1).( - 4) }{ \sqrt{2} \: \: . \: \: \sqrt{29} } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{6}{ \sqrt{48} } \: \: \to \: \: \theta = \arccos \left( \frac{6}{ \sqrt{48} } \right) \\ \\ \boxed{\theta = \frac{\pi}{6} \: \: \: ou \: \: 30 {}^{o} }$

• ângulo entre $\bf u_2$e$\bf j$:

$\cos( \theta) = \frac{( - 1,\:0,\: 1) \: \cdot \:(2,\:3,\: - 4)}{ \sqrt{1 {}^{2} + 0 {}^{2} + 1 {}^{2} } \: \: . \: \: \sqrt{2 {}^{2} + 3 {}^{2} + 4 {}^{2} } } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{( - 1).2 \: + \: 0.3 \: + \: 1.( - 4) }{ \sqrt{2} \: \: . \: \: \sqrt{29} } \\ \\ \cos( \theta) = - \frac{6}{ \sqrt{48} } \: \: \to \: \: \theta = \arccos \left( - \frac{6}{ \sqrt{48} } \right) \\ \\ \boxed{\theta = \frac{5\pi}{6} \: \: \: ou \: \: 50 {}^{o} }$

Na questão é dito que o vetor (u) faz um ângulo agudo com o vetor j, isto é, um ângulo menor que 90°. Observando os cálculos feitos, é possível ver que o vetor $\bf u_1$ obteve um ângulo agudo com o vetor j.

Espero ter ajudado